Данная статья написана в целях подготовки к ЕГЭ по математике, мы приступим к рассмотрению элементов теории вероятностей. Эта теория включает в себя:
– Вероятность событий;
– Применение вероятностей и статистики в решении прикладных задач.
Все происходящие в нашей жизни события делятся на три группы:
– Достоверные (события, которые должны произойти обязательно);
– Невозможные;
– Случайные.
Теория вероятностей создана в целях изучения случайных событий, которые происходят либо не могут произойти. Также мы рассмотрим примеры задач по данной теме, обычно они встречаются в первой части заданий ЕГЭ по математике профильного уровня, начнём с определения понятия теории вероятностей.
Теория вероятностей. Определения
Теория вероятностей – это раздел математики, который изучает события, их свойства, а также действия над ними.
Считают, что теория вероятностей возникла в средних веках и применялась для анализа исхода различных азартных игр.
Объект изучения в теории вероятности – события и их вероятность. Если событие сложное, то его следует разделить на несколько простых, у которых несложно определить вероятность.
Суммой событий (например, А и В) является событие, называемое С, оно означает реализацию одного из событий либо двух одновременно.
Произведением событий также является событие С, которое заключается в реализации обоих событий.
Несовместными называют события, которые не имеют возможности произойти одновременно.
Невозможным называют событие, которое не произойдёт.
Достоверным называют событие, если оно обязательно должно произойти.
Если для событий А добавить определённое число Р {А), то Р(А) будет вероятностью события А, но при этом должны соблюдаться определённые условия, такие как:
– Вероятность будет принимать значение на определённом отрезке, как правило, этот отрезок от нуля до единицы;
– Вероятность события, которое является невозможным, равна нулю;
– Вероятность происхождения достоверного события будет равна единице;
– Если события являются несовместными, то вероятность их суммы будет равна сумме вероятностей.
Часто встречается ситуация, когда есть два n исходов, которые являются равновероятными, и произвольные, которые k, которые образуют события. Здесь вероятность можно высчитать согласно формуле: Р(А) = k / n. Такую вероятность называют классической. Типовые задания, встречающиеся на ЕГЭ по математике, обычно связаны с темой классической вероятности. Следует учитывать, что обычно они являются несложными.
Примеры задач по теории вероятности
Рассмотрим примеры заданий на теорию вероятности.
- В корзине лежат двадцать мячей: пять – красных, семь – янтарных, восемь – серых. Мальчик хочет взять мяч. Какая вероятность, что он выберет именно серый мяч?
Решение: данная задача предполагает двадцать исходов, то есть мальчик может выбрать любой из двадцати мячей. Нам нужно вычислить вероятность того, что он выберет именно серый мяч, то есть Р(А), где А является серым мячом. Получается, количество таких исходов всего восемь. Далее применяем вышенаписанную формулу и получаем: 8 / 20 = 0,4.
Ответ: вероятность того, что мальчик выберет серый мяч, равна 0,4.
- Всего в классе тридцать учеников, из них два товарища – Игорь и Семён. Учеников в случайном порядке делят на три группы с одинаковым количеством человек в каждой. Необходимо вычислить вероятность нахождения Игоря и Семёна в одной группе.
Решение: следует вспомнить классическую вероятность, наиболее часто встречающуюся в КИМах заданий. В каждой группе по 10 учеников. Допустим, что один из мальчиков попадёт в одну из данных групп. Тогда в группе остаётся 9 мест, являющихся свободными, на одном из этих мест может оказаться второй мальчик. Всего двадцать девять, которые могут расположиться на девяти местах. Вычисляем: 9 / 29 = 0,31.
Ответ: вероятность того, что Игорь и Семён окажутся в одной группе будет равняться 0,31.
В последние годы в демоверсиях ЕГЭ по математике часто стали давать задания на большую сложность. Поэтому рассмотрим вопросы, которые также необходимо учитывать при изучении данной темы.
События являются независимыми, при условии, что их вероятность не зависит от происхождения того или иного события. Событие В будет противоположным А, если это событие не произойдёт. Его вероятность равна единице и минусу вероятность самого события.
Теоремы сложения и умножения вероятностей
Перейдём к рассмотрению теорем сложения и умножения вероятностей и их формул:
– Для определённых событий А и В вероятность суммы равна самой сумме их вероятностей, при условии, что нет вероятности их совместной реализации, то есть: Р(А + В) = Р(А) + Р(В) – Р(АВ);
– Вероятность произведения независимых событий будет равна произведению вероятностей, получается: Р(АВ) = Р(А) * Р(В).
Не во всех случаях подсчёт исходов прост. В некоторых случаях нужно применять формулы комбинаторики. Например, как разложить предметы (их шесть) по шести столам? Допустим, первый предмет будет лежать на любом из этих мест. Для второго предмета остаётся пять столов для расположения, для третьего – четыре, для четвёртого – три, для пятого – два, шестой предмет будет расположен на одном оставшемся столе. Для нахождения числа всех возможных вариантов нужно вычислить произведение 1 * 2 * 3 * 4 * 5 * 6, его пишут, как 6! И читают, как шесть факториал.
Рассмотрим ещё одну задачу. На экзамене выпускник отвечает на один экзаменационный вопрос. Вероятность, что этот вопрос из раздела алгебры равняется 0,2. Вероятность, что вопрос, содержащий тему «Основы тригонометрии» – 0,15. Исключён случай, когда оба вопросы относятся к одной теме. Нужно вычислить вероятность, что при ответе на вопрос выпускник выберет вопрос по одной из двух известных тем.
Решение: мы имеем два события, являющиеся несовместными. Получаем: Р(АВ) = Р(А) + Р(В) = 0,2 + 0,15 = 0,35.
Ответ: вероятность того, что выпускник выберет одну из известных тем, равна 0,35.
Таким образом, мы рассмотрели три группы событий, которые могут произойти либо не произойти, основные определения, формулы, а также примеры задач по нахождению теории вероятностей.
Примерами использования вероятностей может быть медицина. При производстве лекарств широко применяют данные, содержащие статистику. При работе над созданием лекарств ставят опыты для проверки обладает ли оно заявленным требованиям. Данный процесс помогает определить работает ли средство.
Также теорию вероятностей применяют в лотереи. Например, если продали тысячу билетов, должны разыграть восемьсот призов, составляющих определённую сумму, а также одну тысячу двести призов, которые будут утешительными. Определим вероятность выигрыша определённой суммы и утешительного приза, и саму вероятность выиграть что-то из двух вариантов.
Р1 = 800 / 100000 = 0, 008.
Р2 = 1200 / 100000 = 0,012.
Р3= (800 + 1200) / 100000 = 0,012.
В данной статье мы рассмотрели теории вероятностей, а также примеры их использования. Разобрали основные составляющие темы, которые могут встречать на ЕГЭ по математике и разобрали большое количество типовых задач. Изучив весть данный в статье материал, рекомендуем также просмотреть демонстрационные варианты экзамена и решить задачи теме.
Ответы