В данной статье рассмотрены задания, встречающиеся на ЕГЭ по математике 2020, конкретно рассмотрен подраздел планиметрии раздела геометрии.
Темы разобранные в статье:
— Параллелограмм;
— Прямоугольник;
— Ромб;
— Квадрат;
— Треугольник;
— Трапеция.
Изложенные темы подобраны в соответствии с кодификатором элементов содержания ЕГЭ по математике для составления контрольных измерительных материалов.
Итак рассмотрим первую тему, изучаемую в планиметрии.
Параллелограмм
Параллелограммом называют четырёхугольник с противолежащими параллельными сторонами. Рассмотрим рисунок 1 (рис.1).
Как правило, у четырёхугольников есть свои свойства. Перейдём же к их рассмотрению.
- Стороны параллелограмма, являющиеся параллельными, будут равны. Это показывает рисунок 2 (рис. 2), рассмотрим его.
- Углы параллелограмма, лежащие напротив равны. Рассмотрим рисунок 3 (рис. 3).
- Пересекающиеся в определённой точке диагонали параллелограмма делятся пополам. Рассмотрим рисунок (рис. 4).
Если вы найдёте у четырёхугольника данные свойства, он определённо будет являться параллелограммом.
Рассмотрим основные формулы параллелограмма:
— АС^2 + BD^2 = AB^2 + BC^2 + CD^2 + AD^2;
— AC^2 + BD^2 = 2AB^2 + 2BC^2.
Это свойство получается, исходя из теоремы Пифагора. Таким образом, можно найти каждую сторону по следующим формулам:
— a = ( √d1^2 + d2^2 * cos y ) / 2 = ( √ d1^2 + d2^2 + 2d1d2 * cos b ) / 2;
— b = ( √d1^2 + d2^2 + 2d1d2 * cos y ) / 2= ( √d1^2 + d2^2 – 2d1d2 * cos b ) / 2.
— a = ( √2d1^2 + 2d2^2 – 4b^2 ) /2;
— b = ( √2d1^2 + 2d2^2 – 4a^2 ) / 2.
Как найти стороны параллелограмма? Можно использовать формулы нахождения сторон с помощью высоты, площади и диагонали. Рассмотрим эти формулы:
— a = hb / sin a;
— b = ha / sin a;
— a = S / ha;
— b = S / hb.
Рассмотрим формулы, используемые для определения площади параллелограмма:
- Формула нахождения площади, используя высоту, проведённую к стороне параллелограмма:
— S = a * ha;
— S = b * hb.
- Формула для вычисления площади, применяя синус угла между двумя сторонами параллелограмма:
— S = ab sin a;
— S = ab sin B.
- Формула для нахождения площади с известными двумя диагоналями и углу, который находится между ними:
— S = 1 / 2 d1d2 sin y;
— S = 1 / 2 d1d2 sin B.
Прямоугольник
У прямоугольника все углы являются прямыми, равными 90 градусам.
Рассмотрим основные свойства прямоугольника:
— Все стороны являются параллельными и равными;
— Углы являются прямыми;
— Диагонали делятся на две равные части точкой пересечения.
Рассмотрим формулу: 2d^2 = 2a^2 + 2b^2, читается она как: Диагонали прямоугольника в квадрате будут равны сумме сторон квадратов.
Эта тема приведена с помощью теоремы Пифагора, так как основой являются треугольники с углами в 90 градусов.
Рассмотрим формулы, с помощью которых можно вычислить площадь прямоугольника, при этом должны быть известны величины диагонали:
- Формула длины и ширины, используя сторону и диагональ:
— a = ( √ d^2 – b^2 );
— b = ( √ d^2 – a^2 ).
- Формула длины и ширины с известной площадью и одной стороной:
— a = ( √ d^2 – b^2 );
— b = ( √ d^2 – a^2 ).
- Формулы длины и ширины, применяя известный периметр и одну сторону:
— a = ( P – 2b ) / 2;
— b = ( P – 2b ) / 2.
- Формулы длины и ширины с известными диаметром и углом:
— a = d sin a;
— b = d cos a.
Ромб
Ромб представляет собой своеобразный квадрат, с равными и параллельными сторонами.
Отличие ромба – диагонали пересекаются под углом в 90 градусов.
Свойства ромба являются одинаковыми с параллелограммом.
Основание ромба – четыре треугольника, являющиеся прямоугольными. Определим формулу:
AC^2 + BD^2 = 4AB^2.
Рассмотрим формулы, с помощью которых можно вычислить площадь ромба:
- Нахождение площади с известными стороной и высотой:
— S = a * ha.
- Формула для нахождения площади, используя сторону и синус выборочного угла ромба:
— S = a^2 * sin a;
- Вычисление площади применяя известные радиус и сторону:
— S = 2a * r;
- Используя две диагонали:
— S = 1 / 2 d1d2.
- Используя радиус, вписанный в окружность и синус угла:
— S = 4r^2 / sin a.
Квадрат
Квадрат считают правильным четырёхугольником. То есть его углы и стороны равны. Свойства квадрата аналогичны свойствам параллелограмма.
Перечислим основные свойства квадрата:
— Равные стороны;
— Прямые углы;
— Равные диагонали, пересекающиеся под углом в 90 градусов. При этом, диагонали будут равными, так как они делятся точкой пересечения.
Рассмотрим рисунок (рис. 5).
Особенность его диагоналей – они являются гипотенузой треугольника, при этом катеты равны сторонам у квадрата.
Рассмотрим формулы нахождения диагонали у квадрата:
- Используя известную сторону:
— d = a * √2.
- Используя известную площадь этого квадрата:
— d = √2s.
- Через известный периметр:
— d = P / 2√2.
- Применяя радиус окружности:
— d = 2R.
- Применяя диаметр окружности:
— d = D.
Треугольник
Задания так или иначе связанные с треугольником довольно часто встречаются на ЕГЭ по математике, также следует помнить о том, что решая задачи по планиметрии, следует использовать тригонометрические формулы.
Рассмотрим свойства углов треугольника:
— Углы, являющиеся смежными, в общей сумме составляют 180 градусов;
— Будут равными вертикальные углы.
Рассмотрим треугольник (рис. 6).
В данном случае сумма его углов равна: a + B + y = 180 градусов = П рад.
Нужно помнить о том, что сумма двух сторон треугольника, изображённого на рисунке выше, будет больше третьей. Существует формула для нахождения площади треугольника, используя угол между сторонами и сами стороны: S = 1/ 2 a * b * sin y.
Найти площадь можно используя высоту, которая опущена к стороне: S = 1 / 2 b * hb.
Также для нахождения площади можно применить формулу Герона: S = ( √p ( p – a ) * ( p – b ) * ( p – c ).
Трапеция
Трапецией является четырёхугольник, с равной парой противолежащих сторон, которая параллельна.
Площадь трапеции можно вычислить, используя следующую формулу: S = l * h = ( a + b ) / 2 * h.
Рассмотрим свойства трапеции:
— Длина, являющаяся средней, будет параллельной для оснований трапеции;
— Отрезок, который соединяет диагонали трапеции ровно посередине, будет равен половине разности её оснований;
— В трапеции на одной прямой должны находится точки пересечения диагоналей и боковых сторон, а также середины оснований;
— Диагонали трапеции делят её на четыре одинаковых треугольника;
— Отрезок, который соединяет середины у оснований, будет равняться половине разница оснований. Это правило выполняется при условии, что сумма углов трапеции будет равной 90 градусам;
— Равные углы при основании характерны трапеции, являющейся равнобедренной;
— Равные диагонали присущи равнобедренной трапеции.
Таким образом, тема планиметрии раздела геометрии ЕГЭ по математике часто рассматривается в заданиях КИМов. Изучив данную статью, просмотрев основные свойства данных геометрических фигур и ознакомившись с необходимыми формулами вы будете в совершенстве владеть этой темой. Также при подготовке к ЕГЭ по математике рекомендуем просмотреть задания, содержащиеся в демонстрационных материалах и порешать их. Не менее важным моментом является изучение других дополнительных материалов в целях закрепления изученной темы.
