В данной статье мы продолжим подготовку к ЕГЭ по математике, а именно рассмотрим раздел планиметрии раздела геометрии. Мы рассматриваем основные темы базового уровня ЕГЭ по математике, встречающиеся в КИМах заданий. Темы определены в соответствии с кодификатором элементов содержания.
Начнём с повторения основных определений. Таких, как окружность и круг.
Окружностью называют линию, находящуюся на плоскости. При этом каждая точка располагается от центра окружности на равном расстоянии.
Данное расстояние является радиусом, его обозначают, как R, О – является центром окружности.
С помощью окружности плоскость делят на две равные части, их называют внешней и внутренней.
Кругом называют часть внутренней окружности, которая включает в себя саму окружность.
Дугой окружности является её часть, которая ограничена с помощью двух точек
Итак, перейдём к рассмотрению темы.
Если стороны треугольника, являются касающимися окружности, то её называют вписанной в данный треугольник. Центр окружности удалён на одинаковое расстояние со всех прилегающих сторон. То есть он расположен в определённой точке, в которой пересекаются биссектрисы треугольника. Из этого следует, что в треугольники, возможно, вписывать окружность, так как его биссектрисы будут пересекаться в определённой точке.
Рассмотрим пример (рис.1).
Рассмотрим формулы, применяемые в равностороннем треугольнике:
- Формула вычисления радиуса окружности, являющейся описанной
R = 2 / 3 h, следует что R = ( a √3 ) / 3.
- Формулы для нахождения радиуса окружности, являющейся вписанной
R = 1 / 3 h, h является высотой данного треугольника.
Если известна сторона а, то h = ( a √3 ) / 2, исходя из этого r = ( a √3 ) / 6.
Следует обратить внимание, что у треугольника, являющегося равносторонним, биссектрисы, высоты и медианы будут совпадать. Также они будут перпендикулярами, являющимися серединными. Из этого следует, что центры этих окружностей совпадают.
Если вершины у треугольника расположены в пределах окружности, то её считают описанной около треугольника. Центр окружности удалён на равное расстояние от вершин треугольника. Он находится в определённой точке, где пересекаются серединные перпендикуляры к соответствующим сторонам данного треугольника.
Из этого следует, что описать окружность предоставляется возможным у любого треугольника. Это обосновано тем, что перпендикуляры, являющиеся серединными, пересекаются в одной определённой точке.
Рассмотрим данные положения на примере рисунка (рис. 2).
Нужно запомнить, что центр окружности для острого треугольника находится в самом треугольнике.
Перейдём к рассмотрению многоугольников.
Многоугольником является линия, которую называют ломаной и часть плоскости, которую ограничивают.
Вершинами многоугольника являются вершины линии, являющейся ломаной, а звенья – стороны многоугольника.
Диагональю многоугольника является отрезок, который соединяет лежащие на разных сторонах две вершины.
Рассмотри два многоугольника (рис.3 – 4).
Здесь:
– A, Е, B, D, C являются вершинами;
– AB, AE, BC, DE, CD являются сторонами;
– AC, CE, AD, BD, BE являются диагоналями.
Многоугольник с углами, меньшими ста восьмидесяти градусов является выпуклым.
Сумму выпуклого многоугольника можно определить следующим образом: 180 * ( n – 2 ).
Рассмотрим выпуклый многоугольник (рис. 5).
Все выпуклые треугольники делятся на треугольники. При этом, треугольников будет на два меньше по сравнению с количеством сторон многоугольника.
Сумма углов треугольника составляет сто восемьдесят градусов.
Рассмотрим пример решения задачи по данной теме.
В условии задачи просят найти сумму углов, являющихся внутренними у одиннадцатиугольника.
Для наглядности рассмотрим этот одиннадцатиугольник на рисунке (рис. 6).
Для решения данной задачи нужно воспользоваться формулой: 180 * ( n – 2) = 180 * ( 11 – 2 ) = 180 * 9 = 1620 градусов.
При решении подобных задач нужно воспользоваться материалами из геометрии ЕГЭ по математике, приведёнными в данной статье.
Правильными многоугольниками называют многоугольники, имеющие одинаковую длину сторон, а также одинаковые градусы углов.
При проведении диагоналей в правильных многоугольниках, мы получим правильные многоугольники, являющиеся вогнутыми.
Например, правильными многоугольниками являются квадрат и треугольник. При условном делении окружности на определённое количество частей, которые будут равны между собой и соединении точек отрезками, получается правильный многоугольник. Вокруг каждого многоугольника, являющегося правильным можно описывать окружность. Также в многоугольник можно уместить окружность, центры которых будут совпадать.
Окружность, которая касается всех сторон многоугольника и делит свои стороны на равные отрезки, считают вписанной в многоугольник.
Многоугольником, вписанным в окружность, является многоугольник, с вершинами расположенными на окружности. К тому же, вершины делят окружность на одинакового размера дуги.
Для того чтобы начертить правильный многоугольник, необходимо знать количество вершин и длину сторон. Заданный многоугольник имеет площадь, радиус описанной, а также вписанной окружностей.
В процессе решения задач следует применять следующие буквы:
– n – является количеством сторон;
– a n – обозначается длиной стороны;
– R – считается радиусом описанной окружности;
– r – обозначается как радиус вписанной окружности.
– P – является периметром многоугольника;
– P – является полупериметром;
– S – площадь многоугольника.
Рассмотрим формулу нахождения площади треугольника, она равна общей сумме треугольников, являющихся равнобедренными:
S = 1 / 2 a n r.
Вершины многоугольника обозначаются буквой n. Исходя из этого, площадь многоугольника будет вычисляться согласно формуле:
S = 1 / 2 a n r * n = 1 / 2 Pr = pr.
Данная формула подходит для нахождения площади треугольника и многоугольника. В равнобедренном треугольнике высота делит его на прямоугольные.
Рассмотрим пример задачи на данную тему. В условии сказано, что сторона шестиугольника, являющего правильным, равняется единице. Нужно определить радиусы двух окружностей, а также площадь.
Сначала нужно найти радиус описанной окружности, для этого используем формулу:
R = a n / ( 2 sin 180 / n ) = 1 / ( 2 sin 180 / 6 ) = 1 / 2 sin 30 = 1 / ( 2 * 1 / 2 ) = 1.
Далее находим радиус окружности, являющейся вписанной. Для этого также используем соответствующую формулу:
R = a n / ( 2 tg 180 / n ) = 1 / ( 2 tg 180 / 6 ) = 1 / ( 2 tg 30 ) = 1 / ( 2 * √3 / 3 ) = √3 / 2.
Теперь находим площадь. Полупериметр многоугольника будет равен трём. Вычислим площадь:
S = pr = 3 * √3 / 2 = 3 √3 / 2.
Ответ: 3√3 / 2; √3 / 2; 1.
Таким образом, мы закончили рассмотрение данной темы ЕГЭ по математике, а именно тему подраздела планиметрии раздела геометрии. В процессе подготовки к экзамену рекомендуем также просмотреть вебинары ЕГЭ по математике 2020, в них более подробно рассмотрены основные моменты планиметрии, а также приводятся примеры решения различных по сложности задач.
Ответы