На сегодняшний день задания, содержащиеся в контрольно-измерительных материалах определяются в соответствии с кодификатором элементов содержания и требований к подготовке выпускников к проведению ЕГЭ. В данной статье рассмотрены задания ЕГЭ по математике базового уровня с примерами задач. Наиболее часто в ЕГЭ по математике встречаются типовые задания по описанным ниже темам.
В процессе изучения данной темы следует помнить:
— Натуральное число обозначается буквой n;
— Действительное число – а;
— Корень степени n – неизвестное число, обозначим его, как х.
Из определения вытекает следующая формула: n^a, исходя из этого, (n^a)^n=a.
Извлечение корня – поиск корня степени n из числа а, при этом а – число под корнем, n является показателем корня.
Если n — нечётное, то его корень – действительное число. Если же n – чётное, то корень это степени для неотрицательного числа.
Понятие корня n-ой степени
При условии, что число а больше или равно нулю, и n является натуральным числом, больше 1, то есть одно неотрицательное х, при котором имеет место быть равенство: x^n = a.
Степень с рациональным показателем
Наиболее часто в заданиях ЕГЭ по математике встречается степень с натуральным показателем: а^n, а * а * а * а = а^n, при этом, n – 2, 3, 4…, это произведение одинаковых множителей, которым является а. В некоторых случаях n считают натуральным показателем, так как оно является натуральным.
Свойства степеней:
— а^p * a^q = a^p+q;
— a^p/a^q = a^p-q;
— (a^p)^a = a^pa;
— (ab)^p = a^p*b^p;
— (a/b)^p = a^p/b^p.
При выполнении действий по упрощению данных выражений, нужно делать переход исключительно к корням либо к степеням. Вы сами выбираете удобный для вас способ решения. При использовании правила о степени с дробным показателем уменьшается возможность совершить ошибку. Свойства степени используют при выполнении различных упражнений на вычисление.
Рассмотрим примеры.
- Нужно вычислить 25^1/5 * 125^1/5.
Решение: 25^1/5 * 125^1/5 = (25 * 125)^1/5 = (5^5)^1/5 = 5.
Ответ: 5.
Пример: 2 * 2 * 2 * 2 нужно записать в виде степени.
Решение: так как дано произведение четырёх множителей, каждый из которых равен 3: 2^4 – степень, 2 – её основание, 4 – показатель.
Рассмотрим пример: нужно вычислить (-2)^4.
Решение: (-2)^4 = (-2) * (-2) * (-2) * (-2) = 32.
Ответ: 32.
Для закрепления материала рассмотрим ещё один простой пример: (1/6)^2
Решение: (1/6)^2 = (1/6) * (1/6) = 1/36.
Ответ: 1/36.
Логарифмы
Многие думают, что логарифмы являются сложной темой в математике. На самом деле, если всё подробно изучить и рассмотреть примеры эта тема не будет казаться настолько сложной. Чаще всего путают аргумент и основание логарифма. Наиболее часто в ЕГЭ по математике встречаются логарифмы, рассмотрим данную тему.
Логарифмы имеют следующий вид: logab, при этом а – основание выражения, b – является аргументом логарифма. Для того, чтобы найти значение, его нужно приравнять к х. Получаем: logab = х, далее выполняем преобразование: a^x = b.
Следует запомнить, что возводить в степень нужно именно основание логарифма.
Рассмотрим примеры.
- log2 8 = x, далее 2х = 8.
Думаем в какую степень следует возвести 2, чтобы получить 8? В третью степень: 2^3 = 8, х = 3.
Ответ: 3.
В этом примере основанием является 2, оно и должно возводиться в степень.
- Log3 81
3^x = 81
x = 4.
Ответ: 4.
- Log5^125 = x
5^x = 125
x = 3.
Ответ: 3.
- Log4^256 = x
4^x = 256
x = 4.
Ответ: 4.
- log7^343 = x
7^x = 343
x = 3.
Ответ: 3.
Логарифмы с определёнными обозначениями
Для некоторых логарифмов существуют специальные значения. Это обусловлено тем, что такие логарифмы встречаются наиболее часто, к ним относятся логарифмы натуральные и десятичные.
Десятичные логарифмы
Такой вид логарифма пишут следующим образом: log10 = lg, основание логарифма – 10. Для того чтобы найти данное решение, нужно основание привести в степень х.
Рассмотрим пример: lg100 = x.
10^x = 100
x = 3.
Ответ: 3.
Натуральные логарифмы
Данный вид логарифма имеет вид ln, то есть ln = loge.
Для того, чтобы вычислить этот логарифм нужно число е поставить в степень х. Число е – иррациональное число, равное 2,71….
Ln = loge.
Вычислить данный логарифм можно следующим образом: lne e = 1, lne e^2 = 2.
Свойства логарифмов
Для того, чтобы преобразовывать логарифмы нужно знать определённые правила, называемые свойствами логарифмов. Перейдём к рассмотрению свойств:
— loga 1 = 0;
— loga a = 1;
— loga 1/a = -1;
— loga^k a = 1/k;
— loga a^m = m;
— loga^k a^m m/k;
— loga^k b = 1/kloga b;
— loga b^m = m log a b;
— loga^k b^m = m/k loga b;
— loga b = logc b/logc a;
— loga b = 1/ logb a;
— loga b * logc d = logc d * loga d;
— a logc b = b logc a.
Рассмотрим применение данных свойств на примерах.
Логарифмическим нулём и логарифмической единицей названы следующие логарифмы: loga 1 = 0 b и loga a= 1.данные логарифмы следует обязательно запомнить. В этом случае логарифм с основанием, обозначенным а будет равен единице: loga a =1, такой логарифм в математике чаще всего называют логарифмической единицей. Logaa 1 = 0 – логарифмический ноль.
Логарифмическое тождество
Данное тождество представлено в виде loga a^m = m.
M – степень, называющаяся аргументом, она содержит определённое число, это число может быть любым. Встречаются задания, при решении которых требуется данное тождество.
Рассмотрим пример: найти значение 5^3 + log25 16
Следует преобразовать логарифм: log25 16 = log5^2 4^2 = ½ * 2 (log5 4) = log5 4.
Следует вернуться к первоначальному выражению и использовать правило умножения степеней с равными основаниями: 5^3 + log5 4 = 5^3 * 5log5 4 = 125 * 5^log5 4.
Далее применяем тождество: 125 * 5^log5 4 = 125 * 4 = 500.
Сумма и разница логарифмов
Необходимо помнить, что логарифмы с равными основаниями нужно складывать: loga bc = loga b + loga c.
Логарифмы с разными основаниями нужно вычитать: loga b/c = loga b – loga c.
Заметим, что данные выражения состоят из логарифмов, которые невозможно вычислить по отдельности.
Вынесение степени из логарифма
Loga^k b = 1/kloga b;
Loga b^m = m loga b;
Loga^kb^m = m/k loga b.
Новое основание логарифма
Loga b = 1/logb a.
Что делать в случае, когда основания логарифмов разные? Нужно использовать переход к новому основанию. Чаще всего данные формулы используют при решении уравнений и неравенств.
Рассмотрим пример: log5 16 * log2 25.
В данном случае сначала нужно преобразовать каждый логарифм с помощью вынесения степени: log5 16 = log5 2^4 = 4 log5 2. Далее, log2 25 = log2 5^2 = 2 log2 5.
Следующим шагом будет переход к новому основанию: 2 log2 5 = 2 * (1 / log5 2) = 2 / log5 2. Подставляем результат в выражение: 4 log5 2 * 2 / log5 2 = 8.
Исходя из изученной темы логарифмов, рассмотрим дополнительные примеры их решения.
- log6^216
Log6^216 = x
6^x = 216
x = 3
Ответ: 3.
- log5 0,04 = 1/25
x = -2.
Таким образом, мы рассмотрели наиболее встречающиеся темы из раздела математики. Изучив информацию из статьи и просмотрев примеры решения заданий, вы получите необходимые навыки и умения для решения заданий на экзамене. В процессе подготовки к ЕГЭ по математике полезным будет ознакомиться с литературой по данной теме.
