На сегодняшний день ЕГЭ по математике проходит в форме решения заданий, содержащихся в контрольно-измерительных материалах, при этом, ответы на задания выносят на отдельный бланк.
Уравнения могут быть следующих видов:
— Рациональные;
— Иррациональные;
— Показательные;
— Тригонометрические;
— Логарифмические.
В данной статье рассмотрена профильная математика, а именно раздел по видам и системам рациональных, иррациональных, показательных, тригонометрических и логарифмических уравнений.
При решении уравнений нужно помнить основные термины:
— Корнем уравнения называют неизвестное число, которое нужно найти;
— Решение уравнения предполагает нахождение его корня;
— Уравнения, у которых совпадают решения называют равносильными;
— ОДЗ – область допустимых значений;
— Если возможно заменить переменные, то нужно это выполнить;
— После решения уравнения необходимо провести проверку на правильность нахождения корня.
Итак, рассмотрим каждый вид уравнений по отдельности, включая примеры решения.
- Рациональные уравнения – уравнения, у которых, как правило, слева расположено рациональное выражение, а справа – ноль.
Рациональным уравнением называют уравнение вида r(х)=0.
Если обе части уравнения являются рациональными выражениями, то рациональные уравнения называют целыми.
Дробно-рациональным называют уравнение, которое содержит дробное выражение.
Порядок действий при решении данного вида уравнения должен быть следующий:
— Все члены должны быть переведены в левую часть уравнения;
— Данную часть уравнения нужно представить в виде дроби p(x)/q(x);
— Решить уравнение;
— Для полученного решения нужно провести проверку, то есть.
Пример:
х2-4=(х-4)2
При решение этого рационального уравнения понадобится формула (а-в)2=а2-2ав+в2.
Далее, х2-4=х2-8х+16
8х=20
х=2,5
Рассмотрим ещё один пример решения рационального уравнения:
2х+3/5=5х
х2+6х+8=0
х+5/4=х-9/6
На основе примеров показано, что рациональные уравнения могут быть с разным количеством переменных.
- Иррациональные уравнения
Иррациональными уравнениями считают уравнения с переменной под корнем. Для того, чтобы определить является ли уравнение иррациональным нужно просто посмотреть на корень переменной. Следует учитывать, что в некоторых учебниках по математике иррациональное уравнение определяют другим способом.
Способы решения таких уравнений:
— Возвести в степень обе части уравнения;
— Ввести новые переменные;
Пример решения уравнения по первому способу:
8х2+16х—24=9х2-186х+961
х2-202х+985=0
х1=5, х2=197.
Пример решения по второму способу:
х=4, х2=—2.
- Показательные уравнения
Показательные уравнения – уравнение, содержащее неизвестный показатель.
В учебниках по математике разных авторов определение показательного уравнения может отличаться. Обычно такие отличия касаются незначительных деталей.
Как правило, это уравнения вида af(x)=ag(x), где а не равно одному и число а больше нуля. Из этого следует, что f(x)=g(x).
Виды уравнений:
— Уравнение с одним основанием;
— Уравнение с равными основаниями.
Существует следующие способы решения таких уравнений:
— Уравнять показатели;
— Использовать метод логарифмов;
— Привести уравнение к квадратному виду;
— Вынести за скобку общий множитель;
— Ввести новую переменную.
Итак, как решить показательное уравнение? Любое по сложности уравнение нужно привести в простую форму.
Рассмотрим наиболее простой пример решения показательного уравнения:
2х=4
Для решения данного уравнения следует 2 возвести во вторую степень.
х=2.
Решение даже простейших показательных уравнений имеет большую значимость. Поэтому далее вам будет легче решать уравнения более сложного уровня.
- Тригонометрические уравнения
Данная тема является одной из самых сложных, поэтому следует внимательно подойти к изучению данной темы. Известны три формулы тригонометрических уравнений, запомнить которые не составляет особой сложности.
Наиболее простое тригонометрическое уравнение имеет вид sin x=a, cos x=a, tg x=а, а – число действительное.
Способы решения таких уравнений:
— Решение с помощью форму и приведение к простейшему;
— Ввод других переменных;
— Разложить уравнение по множителям.
Пример решения тригонометрического уравнения:
sin x= ½.
Здесь нужно рисовать окружность, далее выделить точки с координатой ½, соответственно, это точки 5п/6 и п/6. Если пройти по окружности, исходя из данных точек, то х=п/6+2пk, x=5п/6+2пn. При этом синус и косинус принадлежат промежутку [-1;1]. Если при решении уравнения в его правой части стоит число не принадлежащее промежутку, считается, что уравнение не имеет решения.
Также рассмотрим пример решения уравнения, разложив его по множителям.
sin2 — sinx = 0.
Нужно применить формулу sin2x = 2sinxcosx.
2sinxcosx – sinx = 0.
sinx (2cosx – 1) = 0.
Таким образом, если один из множителей равен нулю, то решение уравнения также равно нулю.
Далее, sinx=0, x=пk.
2cos x-1=0, cos=1/2.
- Логарифмические уравнения
Особое значение имеет подготовка ЕГЭ по математике логарифмы, это обусловлено тем, что в КИМах чаще всего встречаются именно этого вида уравнения.
Логарифмическое уравнение – это уравнение с неизвестной величиной, находящейся внутри логарифма.
Примерами логарифмических уравнений являются уравнения следующего вида:
— ln x=12;
— lg(y)=25;
— lg(x)+lg(x-3)=25.
Способы решения уравнений данного вида:
— Применять способ уравнивания к единице;
— Применять способ умножать на единицу;
— Применять доступные правила логарифмов;
— Введение другого основания;
— Возвести в степень.
Самым простым логарифмическим уравнением принято считать уравнение вида log a x = b, при этом основание a>0,a≠1.
Пример решения уравнения:
Log 2x=3
Сначала следует найти значение области, то есть ОДЗ. При этом нужно помнить, что под логарифмом выражение всегда положительное. Воспользуемся логарифмическим определением, представим х степью основания 2 логарифма, степень будет равна 3.
log2x=3
x=23
x=8.
Решение уравнения является ОДЗ, то есть корень уравнения найден.
Таким образом, подобное задание ЕГЭ по математике легко можно решить, зная логарифмы и способы их решения.
