Решение рациональных, иррациональных, показательных, тригонометрических и логарифмических уравнений и систем

На сегодняшний день ЕГЭ по математике проходит в форме решения заданий, содержащихся в контрольно-измерительных материалах, при этом, ответы на задания выносят на отдельный бланк.

Уравнения могут быть следующих видов:

— Рациональные;

— Иррациональные;

— Показательные;

— Тригонометрические;

— Логарифмические.

В данной статье рассмотрена профильная математика, а именно раздел по видам и системам рациональных, иррациональных, показательных, тригонометрических и логарифмических уравнений.

При решении уравнений нужно помнить основные термины:

— Корнем уравнения называют неизвестное число, которое нужно найти;

— Решение уравнения предполагает нахождение его корня;

— Уравнения, у которых совпадают решения называют равносильными;

— ОДЗ – область допустимых значений;

— Если возможно заменить переменные, то нужно это выполнить;

— После решения уравнения необходимо провести проверку на правильность нахождения корня.

Итак, рассмотрим каждый вид уравнений по отдельности, включая примеры решения.

  1. Рациональные уравнения – уравнения, у которых, как правило, слева расположено рациональное выражение, а справа – ноль.

Рациональным уравнением называют уравнение вида r(х)=0.

Если обе части уравнения являются рациональными выражениями, то рациональные уравнения называют целыми.

Дробно-рациональным называют уравнение, которое содержит дробное выражение.

Порядок действий при решении данного вида уравнения должен быть следующий:

— Все члены должны быть переведены в левую часть уравнения;

— Данную часть уравнения нужно представить в виде дроби p(x)/q(x);

— Решить уравнение;

— Для полученного решения нужно провести проверку, то есть.

Пример:

х2-4=(х-4)2

При решение этого рационального уравнения понадобится формула (а-в)2=а2-2ав+в2.

Далее, х2-4=х2-8х+16

8х=20

х=2,5

Рассмотрим ещё один пример решения рационального уравнения:

2х+3/5=5х

х2+6х+8=0

х+5/4=х-9/6

На основе примеров показано, что рациональные уравнения могут быть с разным количеством переменных.

  1. Иррациональные уравнения

Иррациональными уравнениями считают уравнения с переменной под корнем. Для того, чтобы определить является ли уравнение иррациональным нужно просто посмотреть на корень переменной. Следует учитывать, что в некоторых учебниках по математике иррациональное уравнение определяют другим способом.

Способы решения таких уравнений:

— Возвести в степень обе части уравнения;

— Ввести новые переменные;

Пример решения уравнения по первому способу:

8х2+16х—24=9х2-186х+961

х2-202х+985=0

х1=5, х2=197.

Пример решения по второму способу:

х=4, х2=—2.

  1. Показательные уравнения

Показательные уравнения – уравнение, содержащее неизвестный показатель.

В учебниках по математике разных авторов определение показательного уравнения может отличаться. Обычно такие отличия касаются незначительных деталей.

Как правило, это уравнения вида af(x)=ag(x), где а не равно одному и число а больше нуля. Из этого следует, что f(x)=g(x).

Виды уравнений:

— Уравнение с одним основанием;

— Уравнение с равными основаниями.

Существует следующие способы решения таких уравнений:

— Уравнять показатели;

— Использовать метод логарифмов;

— Привести уравнение к квадратному виду;

— Вынести за скобку общий множитель;

— Ввести новую переменную.

Итак, как решить показательное уравнение? Любое по сложности уравнение нужно привести в простую форму.

Рассмотрим наиболее простой пример решения показательного уравнения:

2х=4

Для решения данного уравнения следует 2 возвести во вторую степень.

х=2.

Решение даже простейших показательных уравнений имеет большую значимость. Поэтому далее вам будет легче решать уравнения более сложного уровня.

  1. Тригонометрические уравнения

Данная тема является одной из самых сложных, поэтому следует внимательно подойти к изучению данной темы. Известны три формулы тригонометрических уравнений, запомнить которые не составляет особой сложности.

Наиболее простое тригонометрическое уравнение имеет вид sin x=a, cos x=a, tg x=а, а – число действительное.

Способы решения таких уравнений:

— Решение с помощью форму и приведение к простейшему;

— Ввод других переменных;

— Разложить уравнение по множителям.

Пример решения тригонометрического уравнения:

sin x= ½.

Здесь нужно рисовать окружность, далее выделить точки с координатой ½, соответственно, это точки 5п/6 и п/6. Если пройти по окружности, исходя из данных точек, то х=п/6+2пk, x=5п/6+2пn. При этом синус и косинус принадлежат промежутку [-1;1]. Если при решении уравнения в его правой части стоит число не принадлежащее промежутку, считается, что уравнение не имеет решения.

Также рассмотрим пример решения уравнения, разложив его по множителям.

sin2 — sinx = 0.

Нужно применить формулу sin2x = 2sinxcosx.

2sinxcosx – sinx = 0.

sinx (2cosx – 1) = 0.

Таким образом, если один из множителей равен нулю, то решение уравнения также равно нулю.

Далее, sinx=0, x=пk.

2cos x-1=0, cos=1/2.

  1. Логарифмические уравнения

Особое значение имеет подготовка ЕГЭ по математике логарифмы, это обусловлено тем, что в КИМах чаще всего встречаются именно этого вида уравнения.

Логарифмическое уравнение – это уравнение с неизвестной величиной, находящейся внутри логарифма.

Примерами логарифмических уравнений являются уравнения следующего вида:

— ln x=12;

— lg(y)=25;

— lg(x)+lg(x-3)=25.

Способы решения уравнений данного вида:

— Применять способ уравнивания к единице;

— Применять способ умножать на единицу;

— Применять доступные правила логарифмов;

— Введение другого основания;

— Возвести в степень.

Самым простым логарифмическим уравнением принято считать уравнение вида log a x = bпри этом основание a>0,a≠1.

Пример решения уравнения:

Log 2x=3

Сначала следует найти значение области, то есть ОДЗ. При этом нужно помнить, что под логарифмом выражение всегда положительное. Воспользуемся логарифмическим определением, представим х степью основания 2 логарифма, степень будет равна 3.

log2x=3

x=23

x=8.

Решение уравнения является ОДЗ, то есть корень уравнения найден.

Таким образом, подобное задание ЕГЭ по математике легко можно решить, зная логарифмы и способы их решения.

Дата публикации: 16 сентября, 2020

Рубрики

#Без рубрики

#Университеты

#Подготовка к ЕГЭ

Последние записи

Ценные бумаги

Одна из сложнейших и непонятных для учеников тем, так как с ней редко можно встретиться на практике, особенно, будучи школьником. Но это не значит, что

Читать полностью »

Религия

Поговорим об одной из часто встречающихся тем в КИМах. Наверняка каждый из вас хоть раз встречал мировые религии и суждения по ним при решении заданий.

Читать полностью »

Гражданское право

Гражданское право – отрасль права, регулирующая имущественные и тесно связанные с ними личные неимущественные отношения. Гражданские правоотношения строятся на основе следующих принципов: Равенство участников Неприкосновенность

Читать полностью »

Судебная система РФ

Судебная власть – одна из ветвей гос. власти. Судебная власть самостоятельна, независима и беспристрастна. Суды в РФ существуют на 2-х уровнях: федеральном и региональном (уровень

Читать полностью »
Save & Share Cart
Your Shopping Cart will be saved and you'll be given a link. You, or anyone with the link, can use it to retrieve your Cart at any time.
Back Save & Share Cart
Your Shopping Cart will be saved with Product pictures and information, and Cart Totals. Then send it to yourself, or a friend, with a link to retrieve it at any time.
Your cart email sent successfully :)

Получите персональную скидку

Оставьте заявку - мы расскажем о скидках и подберем курс под любые цели и бюджет.


    Получите персональную скидку на покупку курса

    Оставьте заявку - мы расскажем о скидках и подберем курс под ваши личные цели и бюджет.


      blank