blank

Основные тригонометрические тождества. Формулы приведения.

Данная статья содержит материалы раздела алгебры, подраздела основы тригонометрии ЕГЭ по математике профильного уровня, мы рассмотрим тригонометрические тождества, формулы их приведения, синус, косинус, тангенс суммы разности двух углов, а также синус и косинус двойного угла.

На начальном этапе подготовки перед выпускниками обычно встаёт вопрос о том, с чего нужно начинать подготовку к ЕГЭ по математике, рассмотрим структуру КИМа, как правило, он состоит из двух частей:

  1. Первая часть (включает в себя задания № 1 – 12, в них следует указать только правильный вариант ответа);
  2. Вторая часть (содержит задания № 13 – 19, они являются наиболее сложными по сравнению с первой частью. Следует учитывать, что в этой части задания расположены по возрастанию уровня сложности. Здесь требуются полные ответы).

За правильный ответ на задания из первой части, как правило, ставят один балл за каждое задание. Ответ должен быть дан в виде целого числа либо десятичной дроби. А задания второй части оценивают исходя из полноты ответа, то есть за решение одного задания можно получить от нуля до четырёх баллов. Перейдём к рассмотрению основной темы статьи.

Итак, рассмотрим определение тригонометрических тождеств, а также формулы их приведения.

blank

Тригонометрическими тождествами называют равенства, устанавливающие связь между синусом, косинусом и тангенсом угла. Эта связь помогает определять любую функцию (при этом должна быть известна хотя бы одна функция).

Рассмотрим тригонометрические тождества:

— sin^2 a + cos^2 a = 1;

— tg a = sin a / cos a;

— tg a * ctg a = 1;

— 1 / cos^2 a = tg^2 a;

— 1 / sin^2 a = ct^2 a.

Рассмотри пример решения задачи, в ходе которых следует применять тригонометрические тождества: cos a = 0,6. п < а < 2п.

Найти: sin 2a.

Решение: в данном случае следует применить следующую формулу: 2а = 2 sin a * cos a.

Sin a следует находить с помощью применения основного тригонометрического тождества: sin^2 a + cos^2 a = 1, sin^2 a = 1 – cos^2 a, sin a = +- √ 1 – cos^2 a.

Согласно условию задачи: п < а < 2п, cos a = 0,6. Получается, что данный угол находится в четвёртой четверти, следует, что его косинус является отрицательным.

Sin a = — √ 1 – cos^2 a = — √ 1 – 0,6^2 = — √ 1 – 0,36 = — √ 0,64 = — 0,8.

Далее: sin 2a = 2 sin a * cos a = 2 * (- 0,8) * 0,6 = — 0,96.

Ответ: sin 2a = — 0,96.

Перейдём к рассмотрению формул приведения:

— sin (a + 2пz) = sin a, cos (a + 2пz) = cos a;

— tg (a + 2пz) = tg a, ctg (a + 2пz) = ctg a;

— sin (-a +2пz) = — sin a, cos (-a + 2пz) = cos a;

— tg (-a + 2пz) = — tg a, ctg (-a + 2 пz) = — ctg a;

— sin (п / 2 + a + 2 пz) = cos a, cos ( п / 2 + a + 2 пz) = — sin a;

— tg (п / 2 + a + 2 пz) = — ctg a, ctg (п / 2 + a + 2 пz) = -tg a;

— sin (п / 2 – a + 2 пz) = cos a, cos (п / 2 – a + 2 пz) = sin a и другие формулы.

Задания, для решения которых следует применить определённую формулу приведения, встречаются в задании № 9 ЕГЭ по математике профильного уровня, рассмотрим несколько примеров.

  1. Нужно вычислить: 13 / sin^2 38 + sin^2 128

Применяем формулу приведения и получаем: 13 / sin^2 38 + sin^2 128 = 13 / sin^2 38 + sin^2 (90 + 38) = 13 / sin^2 38 + cos^2 38 = 13 / 1 = 13.

Ответ: 13.

  1. Нужно вычислить: 16 sin 112 * cos 112 / sin 224.

Знаем, что 224 = 2 * 112, используем следующую формулу: sin 2a = 2 sin a * cos a.

Получаем: 16 sin 112 * cos 112 / sin 224 = 8 * 2 sin 112 * cos 112 / sin 224 = 8 sin 224 / sin 224 = 8.

Ответ: 8.

blank
  1. Нужно вычислить: 51 cos 4 / sin 86 + 8 = 51 cos 4 / sin (90 – 4) + 8 = 51 cos 4 / cos 4 + 8 = 59.

Ответ: 59.

  1. Нужно вычислить: 3 cos (п – в) + sin (п / 2 + в)

Так как косинус периодичен, получаем: cos (в + 3п) = cos (в + п). Далее следует применить формулы приведения: 3 cos (п – в) + sin (п / 2 + в) / cos (п + в) = -3 cos в + cos в / — cos в = 2.

Ответ:2.

  1. Нужно вычислить: 13 sin 152 / cos 76 * cos 14

Используем формулы синуса угла, являющегося двойным. Затем применяем формулу приведения. Получаем:

13 sin 152 / cos 76 * cos 14 = 13 * 2 sin 76 * cos 76 / cos 76 * cos 14 = 26 sin 76 / cos 14 = 26 sin (90 – 14) / cos 14 = 26 cos 14 / cos 14 = 26.

Ответ: 26.

Итак, мы переходим к изучению второй части нашей статьи. В ходе которой мы рассмотрим формулы для косинуса, синуса и тангенса суммы и разности двух углов, синуса и косинуса двойного угла, а также изучим формулы половинного угла.

Существуют формулы для вычисления суммы и разности аргументов функций, рассмотрим их:

— cos (a + b) = cos (a) * cos (b) – sin (a) * sin (b);

— cos (a – b) = cos (a) * cos (b) + sin (a) * sin (b);

— sin (a + b) = sin (a) * cos (b) + cos (a) * sin (b);

— sin (a – b) = sin (a) * cos (b) – cos (a) * sin (b);

— tg (a + b) = tg (a) + tg (b) / 1 – tg (a) * tg (b) и другие формулы.

Рассмотрим пример решения задач, которые требуют применения вышеописанных формул. Такие задания также встречаются под № 9 в ЕГЭ по математике, итак:

  1. Нужно упростить следующее выражение: cos 36 cos 24 – sin 36 sin 24.

Решение: преобразовываем данное выражение:

Cos 24 = cos (-24);

— sin 24 = sin (- 24).

Cos 36 cos 24 – sin 36 sin 24 = cos 36 cos (-24) + sin 36 (-24) = cos (36 – (-24)) = cos 60 = 1 / 2.

Таким образом, мы одновременно упростили, а также произвели вычисление.

Ответ: 1 / 2.

  1. Нужно произвести вычисление: cos 107 cos 17 + sin 107 sin 17

Решение: применяем формулу косинуса разности аргументов: cos 107 cos 17 + sin 107 sin 17 = = cos (107 – 17) = cos (90) = 0.

Далее вычисляем: sin 21 cos 21 – cos 51 sin 21 = sin (51 – 21) = sin 30 = 1 / 2.

Ответ: 1 / 2.

blank

Далее переходим к рассмотрению завершающей темы. Эта тема о синусе и косинусе двойного угла.

Считают, что если возможно записать произвольный аргумент в виде произведения определённого числа на два, то для этих углов следует применять следующие формулы:

— cos (a + b) = cos (a) * cos (b) – sin (a) * sin (b).

Представим, что углы а и b одинаковые, значит: cos (2b) = cos^2 b – sin^2 * b.

По отношению к синусу получаем: sin (a + b) = sin (a) * cos (b) + cos (a) * sin (b).

Sin 2x = 2 sin x cos x.

Выполним преобразования:

Sin 2x = 2 sin x cos x

Cos 2x = cos^2 x – sin^2 x = 2 cos^2 x – 1

Tg 2x = 2tgg x / 1 – tg^2 x = 2 / ctg x

Ctg 2x = ctg^2 x – 1 / 2ctg x = ctg x – tg x / 2.

Вышеописанные формулы также можно применять для двойного аргумента.

Рассмотрим примеры применения этих формул:

  1. sin a = -0,7

Найти: 25 cos 2a

Решение: 25 cos 2 a = 25 * (1 – 2 sin^2 a) = (1 – 2 * (-0,7)^2) = 0,5.

Ответ: 0,5.

  1. Найти значение следующего выражения: 5 cos 29 / sin 61

Решение: применим формулы приведения:cos (90 – a) = sin a или sin (90 – a) = cos a.

5 cos 28 / sin 61 = 5 cos (90 – 61) / sin 61 = 5 sin 61 / sin 61 = 5

Ответ:5.

  1. Нужно найти значение следующего выражения: 24 (sin^2 17 – cos^2 17) / cos 34.

Следует выполнить преобразования: 24 (sin^2 17 – cos^2 17) / cos 34 = 24 (-cos 34) / cos 34 = -24.

Ответ: -24.

  1. Нужно найти значение выражения: 5 cos 29 / sin 61.

Помним, что функции углов, являющихся дополнительными, равны: 5 cos 29 / sin 61 = 5 cos (90 – 61) / sin 61 = 5 sin 61 / sin 61 = 5.

Ответ: 5.

Таким образом, мы рассмотрели темы, встречающиеся в разделе алгебры ЕГЭ по математике, изучили формулы, которые необходимо применять при решении заданий, а также разобрали примеры заданий и их решения.

blank

Оставить Комментарий