blank

Табличное и графическое предоставление данных. Числовые характеристики рядов данных.

Цель данной статьи – подготовка к единому государственному экзамену по математике, конкретно мы разберём раздел элементов статистики. В данном случае материалами для подготовки к ЕГЭ по математике будет являться информация, данная в статье, теоретическая часть темы, а также примеры решения подобных задач.

В настоящее время статистика является востребованной наукой, которую применяют в ходе изучения различных предметов, таких как химия, физика и социология.

Подробнее изучим следующие темы:

— Порядок предоставления данных в табличном и графическом виде;

— Ряды данных, их числовые характеристики.

При большом объёме сведений требуется их непосредственная упорядоченность. Для этой цели используют таблицу. Она является наиболее простым способом для упорядочения данных. Также таблицы служат для облегчения поиска необходимой информации, но их минус в том, что они не имеют возможности наглядно представить соотношения величин. Для этого применяют диаграммы разных видов, таких как:

— Диаграммы в виде столбцов;

— Диаграммы кругового вида;

— Диаграммы рассеивания, а также другие виды.

blank

Обычно диаграммы применяют для наглядности необходимых данных, их удобно использовать для того, чтобы сравнивать вероятность случайных событий, при этом используя имеющиеся данные (эти данные могут быть числовыми, их получают при проведении наблюдений и экспериментов).

На основании известной статистической информации определяют частоты случайных событий и находят её связь с вероятностью. Для нахождения вероятности событий ведут подсчёт частоты их происхождения. Для их вычисления рассматривают две величины:

— Абсолютную частоту;

— Относительную частоту.

С помощью абсолютной частоту находят количество наблюдений происходящего события. Следует учитывать, что данная величина всегда является целым числом.

С помощью относительной частоты определяют определённую долю экспериментов, которые завершились рассматриваемым событием. Формула относительной частоты: n / N, то есть n – количество опытов, в ходе которых не произошло событие, а N – общее количество проводимых наблюдений. Относительная величина представляет собой дробное число, которое может меняться от нуля до единицы.

Устойчивость абсолютной и относительной частот считают математическим фактором. На этом факторе основывается статистическое определение вероятности. Вероятность случайного события – его относительная частота. Случайной величиной называют величину, которая зависит от результата наблюдения.

Мы рассмотрим числовые значения величины, полученной в ряде проведённых экспериментов. Такие значения называют случайной выборкой. Предположим, что собирают статистику по одной тысяче школьников, а именно их оценки по математике за прошедшую четверть. В данной ситуации генеральной совокупностью будет названо общее число школьников из региона, а выбранную одну тысячу школьников – случайной выборкой.

Таким образом, мы закончили рассмотрение теоретической части и переходим к непосредственному решению задач.

Рассмотрим числовые характеристики рядов данных. Задачи по этой теме часто можно встретить в КИМах ЕГЭ по математике, рассмотрим примеры задач.

1. Среди учеников восьмого класса провели опрос, состоящий из количества человек в их семьях. После проведения опроса, установили следующие цифры: 2, 2, 3, 3, 3, 3, 4, 2, 3, 3, 2, 3, 2, 3, 2, 3, 2, 4, 3, 2, 3, 2, 4, 5, 2, 3, 3, 2, 2, 3, 4, 3, 2, 3, 5, 3. При этом каждая цифра означает общее количество человек в семье каждого ученика. Числа расставлены в порядке ответов учеников. Если попытаться упорядочить данные цифры в возрастающем порядке, получим: 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 4, 5, 5. Данный ряд будет иметь название ранжированного. Видно, что минимальным числом человек в семье является 2, а максимальным – 5. Теперь мы видим частоту повторений каждого ответа. Представим полученные выборки в форме таблицы частот.

Количество человек, составляющих семьюЧастота, называемая абсолютнойЧастота, называемая относительной
2140,35
3190,475
450,125
520,05

Средним арифметическим здесь называют число, получаемое в ходе решения задачи.

blank

Средним арифметическим, при рассмотрении ряда чисел, является частное, полученное при делении суммы этих чисел на их общее количество. Следует учитывать, что среднее арифметическое является неотъемлемой характеристикой ряда чисел.

Часто встречающееся число в ряду является модой. Моды может и не быть в ряду числовых данных. Данный показатель применяют не только в числовых рядах.

В рассматриваемой таблице первый столбец включает в себя значения величины, которую наблюдали (в возрастающем порядке). Во втором столбце отражено число повторяющихся значений (абсолютная чистота), В третьем – доля значений, составляющих всю выборку (относительная частота).

В данном случае объёмом выборки является общее количество учеников, которые проходили опрос.

Для наиболее наглядной формы предоставления результатов опроса используют также графики. Обычно применяют полигон частот, то есть диаграмму, являющуюся линейной. По её горизонтали расположены полученные значения, а по вертикали – относительные частоты. Далее точки соединяют ломаной линей. Рассмотрим график (рис. 1).

Продолжаем рассматривать примеры заданий ЕГЭ по математике базового уровня по данной теме.

  1. Нужно вычислить среднюю массу портфеля у первоклассников. При этом:
Масса портфеля (в килограммах)Значение абсолютной частотыЗначение относительной частоты
1 — 260,3
2 — 3100,5
3 — 430,15
4 — 510,05

При использовании абсолютных частот получаем: 1,5 * 6 + 2,5 * 10 + 3,5 * 3 + 4,5 * 1 / 20 = 2,45.

При использовании относительных частот: 1,5 * 0,3 + 2,5 * 0,5 + 3,5 * 0,15 + 4,5 * 0,05 = 0,45.

В ходе вычисления числовых характеристик выборки по таблице интервалов, мы получаем исключительно приблизительные цифры. В вышеописанном примере о вычислении массы портфеля первоклассников, среднее арифметическое будет равно 2,28 килограммов. Для проверки полученного значения следует считать их по выборке.

  1. На протяжении одного года ученик получал следующие оценки: 5, 2, 4, 5, 5, 4, 4, 5, 5, 5. Как вы думаете, какую оценку может получить ученик? Для получения среднего арифметического нужно сложить все отметки и разделить полученные цифры на общее количество оценок. Получаем: 5 + 2 + 4 + 4 + 5 + 6 + 4 + 4 + 5 + 5 +5 / 10 = 4,4.

Полученный результат является средним арифметическим. Таким образом, ученик получит оценку 4.

Наиболее часто встречающуюся оценку называют модой, так оно встречается наибольшее количество раз. Также рассматривают медиану – статистическая характеристика для данных ряда.

Таким образом, мы изучили две темы раздела элементов статистики ЕГЭ по математике, основные определения, содержащиеся в теме, а также примеры решения задач. Изучив данный теоретический и практический материал, а также решив демонстрационные варианты ЕГЭ (их вы можете найти в соответствующем разделе нашего сайта), вы будете готовы к сдаче государственного экзамена.

blank

Оставить Комментарий