blank

Раздел планиметрии ЕГЭ по математике

В данной статье рассмотрены задания, встречающиеся на ЕГЭ по математике 2020, конкретно рассмотрен подраздел планиметрии раздела геометрии.

Темы разобранные в статье:

— Параллелограмм;

— Прямоугольник;

— Ромб;

— Квадрат;

— Треугольник;

— Трапеция.

Изложенные темы подобраны в соответствии с кодификатором элементов содержания ЕГЭ по математике для составления контрольных измерительных материалов.

Итак рассмотрим первую тему, изучаемую в планиметрии.

blank

Параллелограмм

Параллелограммом называют четырёхугольник с противолежащими параллельными сторонами. Рассмотрим рисунок 1 (рис.1).

blank

Как правило, у четырёхугольников есть свои свойства. Перейдём же к их рассмотрению.

  1. Стороны параллелограмма, являющиеся параллельными, будут равны. Это показывает рисунок 2 (рис. 2), рассмотрим его.
blank
  1. Углы параллелограмма, лежащие напротив равны. Рассмотрим рисунок 3 (рис. 3).
blank
  1. Пересекающиеся в определённой точке диагонали параллелограмма делятся пополам. Рассмотрим рисунок (рис. 4).
blank

Если вы найдёте у четырёхугольника данные свойства, он определённо будет являться параллелограммом.

Рассмотрим основные формулы параллелограмма:

— АС^2 + BD^2 = AB^2 + BC^2 + CD^2 + AD^2;

— AC^2 + BD^2 = 2AB^2 + 2BC^2.

Это свойство получается, исходя из теоремы Пифагора. Таким образом, можно найти каждую сторону по следующим формулам:

— a = ( √d1^2 + d2^2 * cos y ) / 2 = ( √ d1^2 + d2^2 + 2d1d2 * cos b ) / 2;

— b = ( √d1^2 + d2^2 + 2d1d2 * cos y ) / 2= ( √d1^2 + d2^2 – 2d1d2 * cos b ) / 2.

— a = ( √2d1^2 + 2d2^2 – 4b^2 ) /2;

— b = ( √2d1^2 + 2d2^2 – 4a^2 ) / 2.

Как найти стороны параллелограмма? Можно использовать формулы нахождения сторон с помощью высоты, площади и диагонали. Рассмотрим эти формулы:

— a = hb / sin a;

— b = ha / sin a;

— a = S / ha;

— b = S / hb.

Рассмотрим формулы, используемые для определения площади параллелограмма:

  1. Формула нахождения площади, используя высоту, проведённую к стороне параллелограмма:

— S = a * ha;

— S = b * hb.

  1. Формула для вычисления площади, применяя синус угла между двумя сторонами параллелограмма:

— S = ab sin a;

— S = ab sin B.

  1. Формула для нахождения площади с известными двумя диагоналями и углу, который находится между ними:

— S = 1 / 2 d1d2 sin y;

— S = 1 / 2 d1d2 sin B.

Прямоугольник

У прямоугольника все углы являются прямыми, равными 90 градусам.

Рассмотрим основные свойства прямоугольника:

— Все стороны являются параллельными и равными;

— Углы являются прямыми;

— Диагонали делятся на две равные части точкой пересечения.

Рассмотрим формулу: 2d^2 = 2a^2 + 2b^2, читается она как: Диагонали прямоугольника в квадрате будут равны сумме сторон квадратов.

Эта тема приведена с помощью теоремы Пифагора, так как основой являются треугольники с углами в 90 градусов.

Рассмотрим формулы, с помощью которых можно вычислить площадь прямоугольника, при этом должны быть известны величины диагонали:

  1. Формула длины и ширины, используя сторону и диагональ:

— a = ( √ d^2 – b^2 );

— b = ( √ d^2 – a^2 ).

  1. Формула длины и ширины с известной площадью и одной стороной:

— a = ( √ d^2 – b^2 );

— b = ( √ d^2 – a^2 ).

  1. Формулы длины и ширины, применяя известный периметр и одну сторону:

— a = ( P – 2b ) / 2;

— b = ( P – 2b ) / 2.

  1. Формулы длины и ширины с известными диаметром и углом:

— a = d sin a;

— b = d cos a.

Ромб

Ромб представляет собой своеобразный квадрат, с равными и параллельными сторонами.

Отличие ромба – диагонали пересекаются под углом в 90 градусов.

Свойства ромба являются одинаковыми с параллелограммом.

Основание ромба – четыре треугольника, являющиеся прямоугольными. Определим формулу:

AC^2 + BD^2 = 4AB^2.

Рассмотрим формулы, с помощью которых можно вычислить площадь ромба:

  1. Нахождение площади с известными стороной и высотой:

— S = a * ha.

  1. Формула для нахождения площади, используя сторону и синус выборочного угла ромба:

— S = a^2 * sin a;

  1. Вычисление площади применяя известные радиус и сторону:

— S = 2a * r;

  1. Используя две диагонали:

— S = 1 / 2 d1d2.

  1. Используя радиус, вписанный в окружность и синус угла:

— S = 4r^2 / sin a.

Квадрат

blank

Квадрат считают правильным четырёхугольником. То есть его углы и стороны равны. Свойства квадрата аналогичны свойствам параллелограмма.

Перечислим основные свойства квадрата:

— Равные стороны;

— Прямые углы;

— Равные диагонали, пересекающиеся под углом в 90 градусов. При этом, диагонали будут равными, так как они делятся точкой пересечения.

Рассмотрим рисунок (рис. 5).

Особенность его диагоналей – они являются гипотенузой треугольника, при этом катеты равны сторонам у квадрата.

Рассмотрим формулы нахождения диагонали у квадрата:

  1. Используя известную сторону:

— d = a * √2.

  1. Используя известную площадь этого квадрата:

— d = √2s.

  1. Через известный периметр:

— d = P / 2√2.

  1. Применяя радиус окружности:

— d = 2R.

  1. Применяя диаметр окружности:

— d = D.

Треугольник

blank

Задания так или иначе связанные с треугольником довольно часто встречаются на ЕГЭ по математике, также следует помнить о том, что решая задачи по планиметрии, следует использовать тригонометрические формулы.

Рассмотрим свойства углов треугольника:

— Углы, являющиеся смежными, в общей сумме составляют 180 градусов;

— Будут равными вертикальные углы.

Рассмотрим треугольник (рис. 6).

В данном случае сумма его углов равна: a + B + y = 180 градусов = П рад.

Нужно помнить о том, что сумма двух сторон треугольника, изображённого на рисунке выше, будет больше третьей. Существует формула для нахождения площади треугольника, используя угол между сторонами и сами стороны: S = 1/ 2 a * b * sin y.

Найти площадь можно используя высоту, которая опущена к стороне: S = 1 / 2 b * hb.

Также для нахождения площади можно применить формулу Герона: S = ( √p ( p – a ) * ( p – b ) * ( p – c ).

Трапеция

Трапецией является четырёхугольник, с равной парой противолежащих сторон, которая параллельна.

Площадь трапеции можно вычислить, используя следующую формулу: S = l * h = ( a + b ) / 2 * h.

Рассмотрим свойства трапеции:

— Длина, являющаяся средней, будет параллельной для оснований трапеции;

— Отрезок, который соединяет диагонали трапеции ровно посередине, будет равен половине разности её оснований;

— В трапеции на одной прямой должны находится точки пересечения диагоналей и боковых сторон, а также середины оснований;

— Диагонали трапеции делят её на четыре одинаковых треугольника;

— Отрезок, который соединяет середины у оснований, будет равняться половине разница оснований. Это правило выполняется при условии, что сумма углов трапеции будет равной 90 градусам;

— Равные углы при основании характерны трапеции, являющейся равнобедренной;

— Равные диагонали присущи равнобедренной трапеции.

Таким образом, тема планиметрии раздела геометрии ЕГЭ по математике часто рассматривается в заданиях КИМов. Изучив данную статью, просмотрев основные свойства данных геометрических фигур и ознакомившись с необходимыми формулами вы будете в совершенстве владеть этой темой. Также при подготовке к ЕГЭ по математике рекомендуем просмотреть задания, содержащиеся в демонстрационных материалах и порешать их. Не менее важным моментом является изучение других дополнительных материалов в целях закрепления изученной темы.

blank

Оставить Комментарий