blank

Физический смысл производной, нахождение скорости для процесса, заданного формулой или графиком.

В КИМах ЕГЭ по математике содержатся задачи, в ходе решения которых необходимо знать и понимать физический смысл производной. Также встречаются задачи, связанные с движением какой-то определённой точки, которая представлена в виде уравнения, и необходимо найти его скорость в момент движения. Представим, что движение точки (назовём её – х) на координатной оси происходит в определённое время (время обозначим, как t). Получаем, что скоростью в определённый момент времени будет являться производная координат по времени. Так мы находим механический смыл производной.

V (t) = x (t)

а (t) = v (t).

То есть физическим смыслом производной является скорость. Для решения задач на данную тему необходимо знать производные, рассмотрим их:

— х = 1;

— x^2 = 2x;

— √х = 1 / 2√x;

— 1 / x = — 1 / x^2;

— sin x = cos x;

— tg x = 1 / cos^2 x;

— e^x = e^x;

— ln x = 1 / x и другие.

Рассмотрим пример решения задачи. Материальная точка х (t) = 6t^2 – 48t + 17, здесь: х является расстоянием от точки в метрах, t – временем, измеряем в секундах.

Найти: скорость движения точки в момент времени, равный девяти секундам.

Решение: помним, что физическим смыслом производной является скорость. Находим закон измерения скорости согласно формуле: v (t) = x (t) = 12t – 48 м / с.

Получаем: v (9) = 12 * 9 – 48 = 60 м / с.

Ответ: скорость движения в момент временя, равный девяти секундам, будет равна 60 метров в секунду.

blank

Перейдём к рассмотрению второй темы для разбора ЕГЭ по математике, эта тебя является уравнением касательной к графику функции.

Итак, если прямая проходит через точку, имеющую координаты х0, f (x0), а угол наклона у этой прямой равняется производной функции в этой точке, такая прямая является касательной к графику. Нужно иметь в виду, что если нет производной графика в точке, то не будет и самой касательной.

Рассмотрим задачу по данной теме: для того чтобы задать любую прямую, следует использовать формулу6 у = kx + b. Коэффициент k определяет угол расположения для прямой на оси ОХ. Если коэффициент будет больше нуля, то угол наклона, соответственно, будет острым. Если коэффициент будет меньше нуля, то есть отрицательный, то угол между ОХ и касательной будет тупым.

Для задания уравнения касательной, следует использовать следующую формулу: y = f (x0) * (x – x0) + f (x0). Переходим к подробному рассмотрению. Проведём аналогию среди уравнений для прямой и касательной. Для того, чтобы найти коэффициент k, нужно найти производную в точке, которую мы рассматриваем.

Находим уравнение прямой для следующей функции у = х^3 в точке x0 = 3.

Во-первых, нужно найти производную этой функции: у = 3х^2.

Во-вторых, у (3) = 3 * 3^2 = 27.

В-третьих, находим значение данной функции в точке f(0). f(3) = 3^3 = 27.

В-четвёртых, составляем уравнение для касательной по следующей формуле: у = 27 * (х – 3) + 27.

Делаем преобразования: у = 27 * (х – 3) + 27 = 27х – 81 + 27 = 27х – 54.

Далее, уравнение к касательной: у = 27ч – 54.

Таким образом, не нужны большие усилия для того, чтобы найти уравнение к касательной, важно ориентироваться в формулах. Поэтому в процессе подготовки к ЕГЭ по математике её следует запомнить либо выучить.

Итак, переходим к рассмотрению темы производной суммы, разности, произведения и частного. Существует несколько правил и формул, рассмотрим их:

— Производная суммы (разности) у двух функций будет равна сумме (разности) производных этих функций, то есть: (u +- v) = г +- v;

— Производная произведения двух функций будет равна произведению производной первого сомножителя на второй плюс произведение первого сомножителя на производную второго:

(u * v) = u * v +- u * v;

— Производная частного двух функций u(x) / v (x), если v (x) не равняется нулю и равна дроби, у которой числитель является разностью произведений производной числителя на знаменатель и числителя на производную знаменателя.

Рассмотрим пример решения одной из задач, содержащихся в заданиях ЕГЭ по математике, касающуюся нахождения суммы производной: у = х2 + 4ч + 3у = х2 + 4ч +3.

Решение: многочлен есть сумма трёх функций, далее: у = (х2 + 4х + 3) = (х2) + (4х) + (3)у = (х2 + 4ч + 3) = х2 + 4х + 3.

Производную от первого слагаемого находит по правилу: (x^p) = px^(p – 1).

(х2) = 2х (х2) = 2х.

Для того, чтобы найти производную второго слагаемого, нужно вывести константу за знак производной: (х) = 1 (х) = 1, (4х) = 4 (х) = 4 (4х) = 4 (х) = 4.

Третье слагаемое: (3) = 0 * 3 = 0.

Получаем: у = (х2 + 4х + 3) = (х2) + (4х) – (3) = 2х + 4 + 0 = 2х + 4.

Ответ: 2х + 4.

Подобным образом в ЕГЭ по математике решаются задачи на нахождения производной разности, произведения и частного.

Далее мы рассмотрим тему производной основных элементарных функций.

К элементарным функциям относят степенные, показательные, логарифмические, а также тригонометрические функции и их различные комбинации.

blank

Показательная функция f(x) = a^x, при этом а не равна нулю. Данная функция задана на числовой прямой, её производная имеется в каждой точке. Любую показательную функцию можно выразить через показательную функцию с основанием у по формуле: а^x = e^xln a, также е^xln a = (e^ln a)^x. При применении дифференцирования сложной функции, получаем: (е^kx +b ) = ke^kx + b. Производной для а^x будет (a^x) = a^ln a.

Производная логарифмической функции х, имеющую любое основание, можно выразить через логарифмическую функцию с основанием е с применением формулы перехода x = ln ln x / ln ln a.

Производная функции lnx выражается следующей формулой: (lnx) = 1 / x, x больше нуля.

Применяем правило дифференцирования сложной функции и получаем: (ln (kx + b)) = k / kx + b).

(log a x) = 1 / x * ln a.

(log a x) = 1 * ln a.

Для производных тригонометрических функций характерны следующие неравенства:

(sin x) = cos x,

(cos x) = sin x.

Рассмотрим пример решения: f (x) = 3 ln x

3 ln x = 3 / x.

Ответ: 3 / х.

Переходим к рассмотрению заключительной темы данной статьи. Рассмотрим понятие второй производной.

Второй производной называют производную от производной первого порядка. Её обозначают как: f(x) d^2 y / dx^2.

Рассмотрим примеры решения подобных задач.

  1. у = х^4

у = (х^4) = 4x^3.

Далее вычисляем вторую производную: у = (у) = (4х^3) = 4 * (x^3) = 4 * 3x^2 = 12x.

Ответ: вторая производная функции равна 12х.

  1. у = cos 2x

y = (cos 2x) = — sin 2x * (2x) = — 2sin 2x.

у = (у) = (-2sin 2x) = — 2 (sin 2x) = — 2cos 2x *(2x) = — 4 cos 2x.

Ответ: производная второй функции равна – 4cos 2x.

blank

Таким образом, мы рассмотрели темы, которые содержаться в разделе начала математического анализа ЕГЭ по математике, изучив теоретический, а также практический материал, изложенный в данной статье, вы будете готовы в сдаче единого государственного экзамена по данному предмету. Также рекомендуем просмотреть доступные демонстрационные варианты КИМов, это поможет вам знать примерную структуру, формулировку, а также уровень сложности заданий.

Оставить Комментарий