blank

Корень натуральной степени, степени с рациональным показателем, логарифмы

На сегодняшний день задания, содержащиеся в контрольно-измерительных материалах определяются в соответствии с кодификатором элементов содержания и требований к подготовке выпускников к проведению ЕГЭ. В данной статье рассмотрены задания ЕГЭ по математике базового уровня с примерами задач. Наиболее часто в ЕГЭ по математике встречаются типовые задания по описанным ниже темам.

В процессе изучения данной темы следует помнить:

— Натуральное число обозначается буквой n;

— Действительное число – а;

— Корень степени n – неизвестное число, обозначим его, как х.

Из определения вытекает следующая формула: n^a, исходя из этого, (n^a)^n=a.

Извлечение корня – поиск корня степени n из числа а, при этом а – число под корнем, n является показателем корня.

Если n — нечётное, то его корень – действительное число. Если же n – чётное, то корень это степени для неотрицательного числа.

Понятие корня n-ой степени

При условии, что число а больше или равно нулю, и n является натуральным числом, больше 1, то есть одно неотрицательное х, при котором имеет место быть равенство: x^n = a.

Степень с рациональным показателем

blank

Наиболее часто в заданиях ЕГЭ по математике встречается степень с натуральным показателем: а^n, а * а * а * а = а^n, при этом, n – 2, 3, 4…, это произведение одинаковых множителей, которым является а. В некоторых случаях n считают натуральным показателем, так как оно является натуральным.

Свойства степеней:

— а^p * a^q = a^p+q;

— a^p/a^q = a^p-q;

— (a^p)^a = a^pa;

— (ab)^p = a^p*b^p;

— (a/b)^p = a^p/b^p.

При выполнении действий по упрощению данных выражений, нужно делать переход исключительно к корням либо к степеням. Вы сами выбираете удобный для вас способ решения. При использовании правила о степени с дробным показателем уменьшается возможность совершить ошибку. Свойства степени используют при выполнении различных упражнений на вычисление.

Рассмотрим примеры.

  1. Нужно вычислить 25^1/5 * 125^1/5.

Решение: 25^1/5 * 125^1/5 = (25 * 125)^1/5 = (5^5)^1/5 = 5.

Ответ: 5.

Пример: 2 * 2 * 2 * 2 нужно записать в виде степени.

Решение: так как дано произведение четырёх множителей, каждый из которых равен 3: 2^4 – степень, 2 – её основание, 4 – показатель.

Рассмотрим пример: нужно вычислить (-2)^4.

Решение: (-2)^4 = (-2) * (-2) * (-2) * (-2) = 32.

Ответ: 32.

Для закрепления материала рассмотрим ещё один простой пример: (1/6)^2

Решение: (1/6)^2 = (1/6) * (1/6) = 1/36.

Ответ: 1/36.

Логарифмы

blank

Многие думают, что логарифмы являются сложной темой в математике. На самом деле, если всё подробно изучить и рассмотреть примеры эта тема не будет казаться настолько сложной. Чаще всего путают аргумент и основание логарифма. Наиболее часто в ЕГЭ по математике встречаются логарифмы, рассмотрим данную тему.

Логарифмы имеют следующий вид: logab, при этом а – основание выражения, b – является аргументом логарифма. Для того, чтобы найти значение, его нужно приравнять к х. Получаем: logab = х, далее выполняем преобразование: a^x = b.

Следует запомнить, что возводить в степень нужно именно основание логарифма.

Рассмотрим примеры.

  1. log2 8 = x, далее 2х = 8.

Думаем в какую степень следует возвести 2, чтобы получить 8? В третью степень: 2^3 = 8, х = 3.

Ответ: 3.

В этом примере основанием является 2, оно и должно возводиться в степень.

  1. Log3 81

3^x = 81

x = 4.

Ответ: 4.

  1. Log5^125 = x

5^x = 125

x = 3.

Ответ: 3.

  1. Log4^256 = x

4^x = 256

x = 4.

Ответ: 4.

  1. log7^343 = x

7^x = 343

x = 3.

Ответ: 3.

Логарифмы с определёнными обозначениями

Для некоторых логарифмов существуют специальные значения. Это обусловлено тем, что такие логарифмы встречаются наиболее часто, к ним относятся логарифмы натуральные и десятичные.

Десятичные логарифмы

Такой вид логарифма пишут следующим образом: log10 = lg, основание логарифма – 10. Для того чтобы найти данное решение, нужно основание привести в степень х.

Рассмотрим пример: lg100 = x.

10^x = 100

x = 3.

Ответ: 3.

Натуральные логарифмы

Данный вид логарифма имеет вид ln, то есть ln = loge.

Для того, чтобы вычислить этот логарифм нужно число е поставить в степень х. Число е – иррациональное число, равное 2,71….

Ln = loge.

Вычислить данный логарифм можно следующим образом: lne e = 1, lne e^2 = 2.

Свойства логарифмов

Для того, чтобы преобразовывать логарифмы нужно знать определённые правила, называемые свойствами логарифмов. Перейдём к рассмотрению свойств:

— loga 1 = 0;

— loga a = 1;

— loga 1/a = -1;

— loga^k a = 1/k;

— loga a^m = m;

— loga^k a^m  m/k;

— loga^k b = 1/kloga b;

— loga b^m = m log a b;

— loga^k b^m = m/k loga b;

— loga b = logc b/logc a;

— loga b = 1/ logb a;

— loga b * logc d = logc d * loga d;

— a logc b = b logc a.

Рассмотрим применение данных свойств на примерах.

Логарифмическим нулём и логарифмической единицей названы следующие логарифмы: loga 1 = 0 b и loga a= 1.данные логарифмы следует обязательно запомнить. В этом случае логарифм с основанием, обозначенным а будет равен единице: loga a =1, такой логарифм в математике чаще всего называют логарифмической единицей. Logaa 1 = 0 – логарифмический ноль.

Логарифмическое тождество

Данное тождество представлено в виде loga a^m = m.

M – степень, называющаяся аргументом, она содержит определённое число, это число может быть любым. Встречаются задания, при решении которых требуется данное тождество.

Рассмотрим пример: найти значение 5^3 + log25 16

Следует преобразовать логарифм: log25 16 = log5^2 4^2 = ½ * 2 (log5 4) = log5 4.

Следует вернуться к первоначальному выражению и использовать правило умножения степеней с равными основаниями: 5^3 + log5 4 = 5^3 * 5log5 4 = 125 * 5^log5 4.

Далее применяем тождество: 125 * 5^log5 4 = 125 * 4 = 500.

Сумма и разница логарифмов

Необходимо помнить, что логарифмы с равными основаниями нужно складывать: loga bc = loga b + loga c.

Логарифмы с разными основаниями нужно вычитать: loga b/c = loga b – loga c.

Заметим, что данные выражения состоят из логарифмов, которые невозможно вычислить по отдельности.

Вынесение степени из логарифма

Loga^k b = 1/kloga b;

Loga b^m = m loga b;

Loga^kb^m = m/k loga b.

Новое основание логарифма

Loga b = 1/logb a.

Что делать в случае, когда основания логарифмов разные? Нужно использовать переход к новому основанию. Чаще всего данные формулы используют при решении уравнений и неравенств.

Рассмотрим пример: log5 16 * log2 25.

В данном случае сначала нужно преобразовать каждый логарифм с помощью вынесения степени: log5 16 = log5 2^4 = 4 log5 2. Далее, log2 25 = log2 5^2 = 2 log2 5.

Следующим шагом будет переход к новому основанию: 2 log2 5 = 2 * (1 / log5 2) = 2 / log5 2. Подставляем результат в выражение: 4 log5 2 * 2 / log5 2 = 8.

Исходя из изученной темы логарифмов, рассмотрим дополнительные примеры их решения.

  1. log6^216

Log6^216 = x

6^x = 216

x = 3

Ответ: 3.

  1. log5 0,04 = 1/25

x = -2.

Таким образом, мы рассмотрели наиболее встречающиеся темы из раздела математики. Изучив информацию из статьи и просмотрев примеры решения заданий, вы получите необходимые навыки и умения для решения заданий на экзамене. В процессе подготовки к ЕГЭ по математике полезным будет ознакомиться с литературой по данной теме.

Оставить Комментарий