blank

Поочерёдный и одновременный выбор. Формулы числа сочетаний и перестановок. Бином Ньютона

В данной статье мы рассмотрим темы раздела элементов комбинаторики по математике, задания этого раздела наиболее часто встречаются на ЕГЭ по математике базового уровня, итак, перейдём к рассмотрению темы.

Комбинаторика и выборка. Определения и вид

Комбинаторикой называют науку, которая изучает способы составления.

Выборкой называют подмножество, которое составлено из элементов конечного подмножества.

Упорядоченным подмножеством называют множество, в котором определено, какой элемент следует либо какому предшествует. Если поменять место элементов, то получится совсем другое множество.

Также выборкой называют результат отбора, а также извлечение предпочитаемого из наличного.

Как правило, комбинаторная задача включает в себя подсчёт числа выборок из основных элементов М (а1, а2, а3, …). Выборки бывают разного объёма (то есть с разным количеством выбираемых элементов), порядка (то есть неупорядоченные и упорядоченные), повторения (наличие элементов, которые встречаются несколько раз).

blank

Различают три вида соединений для выборок:

— Размещение;

— Перестановка;

— Сочетание.

Размещением из n элементов по k называют выборку, каждая из которых содержит элементы из множества n. Размещения различают по порядку элементов. Определённые элементы в множестве могут находиться повторно, их называют кортежами или повторяющимися размещениями. Длиной элементов называют их число в размещении. Размещения с повторениями – выборка, которая состоит из n не всегда отличающихся элементов.

Перестановкой с повторением называют размещения, составляющие не всегда разные элементы из основного множества n. Pn – количество перестановок, содержащих повторения.

Размещения без повторений – k-элементы, из разных элементов множества. Ak – количество размещений, состоящих из n элементов по k.

Неупорядоченные выборки (одновременный выбор). Сочетания, не имеющие повторений.

Сочетания, состоящие из n элементов по k называют соединениями, которые содержат k-элементы. Их отличие состоят из одного элемента.

Для нас важны только сами элементы множества, порядок не имеет большого значения. Нужно определять, элементы, которые содержаться в соединении. Cn^k – количество сочетаний (число подмножеств) k из множества, которое содержит n элементы. Видно, что при рассмотрении сочетаний из n по k и их упорядочении различными способами мы получим: An^k = Cn^k * Pk.

Сочетаниями с повторениями называют неупорядоченную выборку, которая состоит из n не всегда разных элементов. Сочетания с обозначениями обозначают следующим образом: Ckn.

Таким образом, мы рассмотрели основные понятия, встречающиеся в комбинаторике, виды соединений, а также их характеристики.

Итак, перейдём к рассмотрению темы формул числа сочетаний и перестановок. Рассмотрим данные формулы, для складывания чёткого понимания их следует рассматривать в виде таблицы:

 Порядок важен   Порядок неважен 
Без повторенийA nk = n! / ( n – k )!Pn = A nn = n!С kn = n! / ( n – k ) ! k!
С повторениямиA nk = n^kPn = A nn = n^n P ( k1, k2, …kn ) = ( k1, k2,…kn )! / k1!k2,…, kn!  Ckn = ( n + k – 1)! / ( n – 1! )k!
 РазмещенияПерестановкиСочетания

В этой таблице нужно внимательно читать условия задач, то есть по горизонтали распределены формулы в соответствии с зависимостью от повторения элементов, а по вертикали указаны примеры задач, в которых порядок элементов может быть, как важен, так и не важен. В конце таблицы указаны действия, которые можно выполнять по отношению к элементам.

Таким образом, рассматривая формулы в виде таблицы не сложно запомнить и в случае надобности применить при решении заданий ЕГЭ по математике, следует учитывать, что формулы делят на две группы: формулы, где важен порядок, а также, где неважен.

blank

Бином Ньютона

С темой Бинома можно столкнуться при применении формул сокращённого умножения, а конкретно при возведении сложения либо вычитания чисел в различных степенях. Рассмотрим формулы, позволяющую возвести сумму разных двух чисел в определённую степень: ( a + b )^n = С 0n * a^n + С 1n * a^( n – 1 ) * b + С 2n * a^( n – 2 ) * b^2 + …+ С n-1 n * a * b^( n – 1 ) + С nn * b^n.

Для нахождения коэффициентов воспользуемся сочетательным законом комбинаторики, не содержащего повторения: С kn = ( n )! / ( k )! * ( n – k )! = n ( n -1 ) ( n – 2 ) * …( n – ( k – 1 )) / ( k )! – биномиальные коэффициенты.

Рассмотрим ранее встречающуюся формулу и разберём её получение: ( a + b )^2 = С 02 * ф:2 + С 1 2 * a^1 * b + С 2 2 * b^2 = a^2 + 2ab + b^2.

Также существуют коэффициенты Бинома Ньютона. Для их подсчёта принято использовать треугольник Паскаля.

Этот треугольник не составляет труда вычислить самостоятельно. В боковых строках расположены коэффициенты, которые равны единицы. Коэффициенты, расположенные посередине считают в виде суммы верхних. Существует важное свойство коэффициентов для Бинома Ньютона, они помогают проверять правильность их расстановки. Для этого нужно складывать все имеющиеся коэффициенты, расположенные на чётных местах и выполнить сложение коэффициентов на нечётных местах. Далее следует сравнить полученные значения. Они должны быть одинаковым.

Распределение заданий в экзаменационной работе

У многих выпускников при подготовке к ЕГЭ возникают вопросы к содержанию КИМов. Поэтому уделим небольшое количество времени этому вопросу.

Задания, содержащиеся в КИМах определяются в соответствии с кодификатором, содержащим требования к проведению ЕГЭ. Кодификатор составлен в соответствии с содержанием программ обучения, то есть их минимумом, являющимся обязательным. Кодификатор включает в себя код раздела и умений, а также основные требования к проверяемым заданиям на экзамене.

Сама работа включает в себя часть, состоящую из двадцати заданий, которые требуют краткие ответы. Ответами являются целые числа либо десятичные дроби, также ответом может быть определённая последовательность чисел. Как правило, ответы вписывают в бланки формы №, она предусматривается инструкцией к выполнению заданий.

blank

Рассмотрим структуру заданий, содержащихся в КИМах ЕГЭ по математике, а также их подразделы:

— Задания из раздела алгебры (числа, степени, тригонометрия, логарифмы, преобразование выражений);

— Задания, содержащие уравнения и неравенства;

— Задания с функциями, а также их определения (графики, монотонность, чётность / нечётность);

— Задания, содержащие начала математического анализа (производные, исследования функций, интегралы, первообразные);

— Задания раздела геометрии (планиметрия, прямые и плоскости, многогранники, геометрические величины и их измерения);

— Задания раздела комбинаторики (теории вероятностей и так далее).

Система оценивания заданий следующая: один правильный ответ = один балл. Максимальное количество баллов, которые можно набрать – двадцать.

Также у выпускников часто возникает вопрос о времени, которое даётся на выполнение заданий, итак, продолжительность ЕГЭ по математике составляет три часа, то есть сто восемьдесят минут.

Таким образом, при подготовке к экзамену рекомендуем использовать данный в статье материал, а также изучить дополнительный, включающий в себя методические материалы, просмотреть и решить демонстрационные варианты экзамена, их вы можете найти на нашем сайте.

blank

Оставить Комментарий