blank

Значения числовых и буквенных выражений. Выражения с переменными

В статье рассмотрены наиболее популярные темы, которые встречаются в контрольно – измерительных материалах по математике. Все задания составляются в соответствии с кодификатором требований о подготовке к ЕГЭ.

В задания ЕГЭ по математике базового уровня входят следующие темы о значении:

— Числовых выражений;

— Буквенных выражений;

— Выражений с переменными;

Раздел Преобразование буквенных выражений содержит в себе небольшие подразделы, которые включают темы о преобразовании выражений, включающих:

  1. Степени;
  2. Радикалы;
  3. Логарифмы;
  4. Тригонометрические формулы.

Данные задания ЕГЭ по математике 2020 встречаются довольно часто, поэтому перед тем как приступить к разбору вышеописанных тем, нужно изучить само понятие о значении выражения.

Рассмотрим определение данного понятия. Значение выражения – это цифра, которая получается после выполнения необходимых операций с выражением.

Данное определение также называют числом с набором следующих действий: сложение, вычитание, деление и умножение.

Рассмотрим пример: 1+2. Данное выражение представляет собой сложение чисел, ответом будет число 3 – это значение выражения.

Обычно при нахождении значения у числового выражения, слово «числового» не используют, так как в данном случае понятно, что имеется в виду. Существуют числовые выражения, у которых невозможно найти значение, так как необходимо выполнить действия, не имеющие смысла, например, разделить на нуль. В таких случаях считают, что у выражения нет решения.

Буквенное выражение

Такими выражениями принято называть выражения с наличием букв. Если заменить буквы на число, то получится выражение, содержащее числа.

Рассмотрим пример: 2 * х + у, пусть х = 1, у = 2. Далее следует заменить буквы цифрами, и высчитать значение выражения: 2 * 1 + 2= 4. Ответ: 4.

В математике буквы в выражении принимают разные значения, при этом буквы — переменные, а выражения с наличием букв – выражения, содержащие переменные.

Выражения, содержащие переменные

Значением таких выражений называют значения числовых выражений, которые получены путём подстановки. Пример: 3 * а * в + в, пусть а = 2, в = 1. Теперь поставляем числа в само выражение и получаем: 3 * 2 * 1 + 1 = 7. Ответ: 7. В некоторых случаях переменные могут быть разные, но значение выражений у этих переменных должно быть единое.

Значение у переменной можно задавать из допустимого значения, соответствующего им. Так как в другом варианте, при подстановке значений, которые не принадлежат области с допустимыми значениями, получится выражение, не имеющее смысла.

Также нужно учитывать, что бывают выражения с переменными, у которых значение не имеет подчинённости от заданных переменных. Например: 5 + х – х. В данном случае значение выражения не связано с переменной х. Во всех случая значение выражения будет равняться пяти.

Преобразование буквенных выражений может быть включать:

— Степень;

— Радикал;

— Логарифм;

— Функции тригонометрии.

Рассмотрим каждый вид преобразования по отдельности.

Преобразование буквенных выражений, имеющих степени

blank

Рассмотрим несколько правил преобразования степенных выражений:

— Произведение с одинаковыми основаниями ( а^p * a^q = a^ (p+ q ); a^ ( p + q) = а^p * a^q );

— Частное с равными показателями (а^p / a^q = a^(p – q ); a^(p – q ) = а^p / a^q = ф^p / a^ q );

— Степень в степени ( a^p )^q = a^pq; a^pq = ( a^p )^q = ( a^q )^p);

— Степени произведения с частным ( ab^p = a^p * b^p; (a / b)^p = ( a^p ) / (b^p); a^p * b^p = ab^p; ( a^p ) / (b^p = (a / b)^p.

Рассмотрим примеры таких преобразований.

  1. 2^3 * ( 2^2 – 1 ) = 2^3 * 3= 16 * 3 = 48.

Ответ: 48.

  1. Найти значение выражения: a^2,5⋅* (a^2)^(−3) / a^(−5,5).

Решение: Возводим в степень. Получаем: a^(2,5 – 6) / a^(−5,5) = a^( -3,5 ) / a^( -5,5 ). Далее нужно использовать правило частного с одинаковыми основаниями: a^( (−3,5 ) −(−5,5 )) = a^2.

Ответ: a^2.

Преобразование буквенных выражений с радикалами

Данная тема содержится в КИМах ЕГЭ по математике, она изучается 7 классе по алгебре, приступим к рассмотрению. Радикалом называют подкоренное выражение. Рассмотрим необходимые формулы, которые будут полезны в процессе преобразования:

— ( n √а )^n = a; ( n√а^n ) = a;

— ( n √аb) = n √а * n √b;

— n (√а / b) = n√а / b √b;

— ( n √а)^k = n √а^k;

— np √а^kp = n √а^k.

Данные выражения принимают за иррациональные. Для наглядности разберём пример иррационального преобразования:

Нужно упростить данное выражение: 4 √32^5.

Данное выражение нужно представить в виде: 16 – a^4 – 2a и воспользоваться второй формулой: 4 √32^5 = 4 √16 * 4 √a^4 * 4 √2a = 2a 4√2a.

Преобразование выражений, содержащих логарифмы

В некоторых КИМах могут встречаться задания на преобразование выражений с логарифмами.

Данные преобразования производятся в соответствии со свойствами логарифмов. Для решения подобных заданий следует знать свойства логарифмов, которые могут решить задачу.

loga 1 = 0;

— loga a = 1;

— loga 1/a = -1;

— loga^k a = 1/k;

— loga a^m = m;

— loga^k a^m = m/k;

— loga^k b = 1/kloga b;

— loga b^m = m log a b;

— loga^k b^m = m/k loga b;

— loga b = logc b/logc a;

— loga b = 1/ logb a;

— loga b * logc d = logc d * loga d;

— a logc b = b logc a.

Вышеизложенные свойства можно применять в любом порядке. При подготовке к ЕГЭ по математике нужно тщательно повторить данные свойства, также важно уметь их использовать в процессе преобразования выражений. Начать следует с числовых выражений. Но как же найти свойство, с помощью которого преобразовать выражение? Обычно это несложно, следует сопоставить логарифм, который нужно преобразовать и выражение, содержащее свойства логарифмов.

Разберём пример.

Вычислить: 5log54. Применяем свойство alogab, здесь  а = 5, b = 4. Число а является числом больше нуля и не равно единице, число b больше нуля, далее применяем неравенство alogab=b. Получаем: 5log54=4.

Преобразование выражений, содержащих функции тригонометрии

blank

Под данным термином понимают упрощение выражений, используя формулы из тригонометрии.

Существуют правила, которым нужно следовать в процессе преобразования выражений:

— Если выражение имеет больше количество тригонометрических функций, следует сократить их количество, здесь нужно применять тождества тригонометрии;

— Выражение, содержащее разные аргументы следует привести к единому;

— Для того чтобы получить функцию, следует воспользоваться формулами;

— Если в выражении присутствуют функции высоких степеней, следует воспользоваться тождествами тригонометрии или применить формулы, с помощью которых можно понизить степень.

Тождества тригонометрии:

— sin^2 a + cos^2 a = 1;

— tg a = sin a / cos a, ctg a = cos a / sin a;

— ctg a * ctg a = 1;

— 1 / cos^2 a = tg^2 a;

— 1 / sin^2 a = ctg^2 a.

Рассмотрим пример. Нужно упростить выражение: cos^2 a / 2 – 1 / 2 cos a. Применяем формулу, с помощью которой можно понизить степень: ( cos a + 1 ) / 2 – 1 / 2 cos a = 1 / 2.

Ответ: 1 / 2.

После изучения данной темы и рассмотрения примеров рекомендуем прочитать литературу с более подробным разбором примеров ЕГЭ по математике, изучив данные, а также дополнительные материалы вы в совершенстве будете владеть темой значения числовых и буквенных выражений.

Оставить Комментарий