blank

ЕГЭ по математике: база. Числа. Корни степени. Целые числа. Степень с натуральным показателем. Дроби, проценты, рациональные числа, Степень с рациональным показателем и ее свойства

Начинаем с вами подготовку к обязательному экзамену —  ЕГЭ по математике. Мы будем с вами рассматривать поэтапно темы всех заданий экзаменационной работы начиная с самых простейших тем и заканчивая началом математического анализа и высшей геометрией.  Сегодня начнем рассматривать задания ЕГЭ по математике, касающиеся одних из самых простых тем, но вместе с тем очень часто они вызывают затруднения у экзаменующихся (зачастую по невнимательности или излишней самоуверенности). Регулярно изучая материал в нашем блоге, вы сможете подготовиться к ЕГЭ по математике эффективно и за короткий срок. А наши преподаватели смогут объяснить Вам самые трудные темы и устранить проблемы в знаниях. Итак, начнем!

Целые числа

Что такое целые числа? Это натуральные числа, то есть от 1 до бесконечности, это 0, это противоположные натуральным числам. Всё вместе – целые числа. Например, -5,0,5,10,-10 и так далее.

При округлении количество впоследствии запятой играет огромную роль. В случае если 1-ое количество впоследствии запятой более или же точно также 5, то количество, которое слева от запятой,растет на единицу, в случае если же количество впоследствии запятой меньше 5, то количество слева от запятой не меняется.

Приступим к практике

Задание 1

Обучающихся в группе меньше 50 студентов. За индивидуальную работу часть студентов получила оценку «5», «4», а половина студентов получила оценку «3». Остальные работы были оценены оценкой «2», Сколько было студентов, индивидуальные работы которых были оценены неудовлетворительной оценкой?

Решение

Число студентов всегда выражается целым числом. Значит, надо найти натуральное число меньшее 50 и одновременно делящееся на 7, 3, 2. Единственно возможным таким числом будет число 42.

Заключение пишем так: пусть x – количество учащихся. По условию задачки имеем  – учащихся возымели оценку «5»;  – учащихся возымели оценку «4»; – учащихся возымели оценку «3». Например как x обязан в одно и тоже время распределяться на 7, 3, 2, то этим количеством, наименьшим 50, станет количество 42.

Решение этой задачи можно оформить и так:

Числитель дроби – число 41 показывает, какое количество студентов получили оценки «5», «4», «3», а знаменатель – число 42 показывает общее количество студентов. И отсюда можно заключить, что оценку «2» получил 1 студент.

Ответ: 6 студентов получили оценку «5»; 14 студентов получили оценку «4»; 21 студент получил оценку «3»; 1 студент получил оценку «2».

Корни чисел и степени

blank
Очень трудное содержание, в ней надобно разобраться. уровень – количество, показывающее сколько одно количество множится на себя. К примеру, а2 = а*а. Корень количества – количество, равное на себя себя, возведённому в квадрат, то есть, если корень количества взвести в квадрат, то выйдет само количество. К примеру, (√a)2=a.

Важны несколько моментов со степенями

а2=а*а

а0=1

а=1/aх , где х – абсолютно любое число

(am)n = am*n

С корнями:

x√ах = а

n√am = am/n

mn√amk n√ak

Пример задания

Задание 9 № 26798

Найди значение выражения: (7*(m5)6+11(m3)10)/(3m15)2

Преобразуем по свойству степеней

 7m30 + 11m30/9m30 = m30*(11+7) / 9m30 = 18m30/9m30. Сократим на 9 и на m30. Получим 2

Ответ: 2

Степень с натуральным показателем

Что такое степень с натуральным показателем? Перейдём к теории:

Существует короткая запись для умножения числа несколько раз на себя, пример:

4444444=4 в 7 степени = 7раз.

Под an, где n=2,3,4,5…, подразумевают произведение n равных множителей,

Любой множитель дает собой число a.

Выражение an представляют степенью, число a — основанием степени,
 число n — показателем степени.

Число n в урезании именуют естественным показателем, вследствие того собственно что это естественное число (подсчёт символов)

Не забудь!

aaaa=an — n раз

an — степень с натуральным показателем;

a — основа степени;

n — показатель степени.

Запись an читается так: «a в n-й степени» или «a в степени n».
a2 читается: «a в квадрате» или «a во второй степени».

a3 — «a в кубе» или «a в третьей степени».

Задание: записать степень произведения 2⋅2⋅2⋅2⋅2 и использовать термины.
Решение.
Дано произведение пяти равных множителей, каждый равен 2, имеем:
2⋅2⋅2⋅2⋅2=2 в 5;

2 в 5 — степень;

2 — основание степени;

5 — показатель степени.

Дроби
Дробь – количество, показывающее доля чего-нибудь. К примеру, имеется пицца, её разрезали на 3 части и взяли 1 кусок. Можно 1/3 записать, то есть 1 из 3-х частей. Количество над чертой – именуется числитель, а под – знаменатель. Дробь может быть верной – числитель меньше знаменателя и неверной – числитель больше знаменателя.
Практика
Отыскать смысл выражения (-2 ¾ — 3/8) * 160
Заключение
-11/4 – 3/8 = (-22 – 3)/8 = -25/8
-25/8 *160 = -25 * 20 = -500
Ответ: -500

Процент

blank


Процент – сотая часть какого-либо числа. Например, 1% = 0,01; 50% = 0,5


Как найти х процентов из а числа? Нужно число а умножить на x/100, тогда вы получите число из х процентов, помните, х и а – это любые числа.


Как перевести какое-либо число в проценты? умножьте на 100.


Приступим к практике
Задание
В 2008 году в городе проживало 40000 человек. В 2009 году, из-за строительства новых домов, число жителей выросло на 8%, а в 2010 году на 9% по сравнению с 2009 годом. Сколько жителей проживало в 2010 году?
Решение
Найдём, сколько человек жило в 2009 году. 40000 * 8/100 = 3200 человек – на столько число жителей выросло в 2009 году, то есть 43200 человек. Подсчитаем, какое количество человек жило 2010 году. 43200 * 9/100 = 3888 – на столько выросло число жителей в 2010 году, то есть 47088 человек.
Ответ: 47088

Рациональные числа

Рациональные числа — это целые и дробные числа (обыкновенные, конечные десятичные, бесконечные дроби).

Важно знать!

Бесконечные непериодические дроби НЕ входят в множество рациональных чисел.

Поэтому число «Пи» (π= 3,14…), основание натурального логарифма
e (e = 2,718..) или √2 НЕ являются рациональными числами.

Множество рациональных чисел пишется с заглавной английской буквой «Q».

Множество «Q» имеет множество целых чисел «Z» и натуральных чисел «N».

Каждое рациональное число можно представить дробью, у которой числитель принадлежит целым числам, а знаменатель — натуральным.

a
b

где a ∈ Z (a принадлежит целым числам), b∈N (b принадлежит натуральным числам).

Задачи:

 Среди всех отрицательных чисел, не превышающих по абсолютной величине 5/2, указать:

а) меньшее рациональное число;

б) большее рациональное число;

в) меньшее целое число.

Ответ: А) -5/2 Б) нет В) -2

Степень с рациональным показателем

Дробь, в её показателе находится конечная обыкновенная или же десятичная дробь. Любую уровень с оптимальным показателем возможно представить корнем, уровень которого равна знаменателю дроби, находящемуся там в показателе степени, числитель – уровень подкоренного выражения.

Свойства

  1. Если нужно умножить две степени с рациональными показателями, имеющие равные основания, то основание оставляем без изменения, показатели складываем.

ap * aq = ap+q. — формула

пример:

  1. Основание оставляем без изменений, а показатели вычтем. ap/ aq= ap-q.

пример:

  1. При необходимости возведения степени в другую степень, основание остаётся то же число, показатели степени перемножаем. (ap)q = ap*q

Пример:

  1. Если в некоторую степень надо возвести произведение произвольных чисел, пользуемся распределительным законом, из него получаем произведение разных оснований в одной степени.

(a * b)p = ap * bp

  1. Похожее свойство применяем для деления степеней

(a / b)p = ap / bq

  1. Если дробь имеет отрицательный рациональный показатель степени, избавиться от знака минуса, можно переворотом дроби.

Не забудь! Знак степени не влияет на знак выражения при возведении в степень.

Оставить Комментарий