В статье рассмотрены наиболее популярные темы, которые встречаются в контрольно – измерительных материалах по математике. Все задания составляются в соответствии с кодификатором требований о подготовке к ЕГЭ.
В задания ЕГЭ по математике базового уровня входят следующие темы о значении:
— Числовых выражений;
— Буквенных выражений;
— Выражений с переменными;
Раздел Преобразование буквенных выражений содержит в себе небольшие подразделы, которые включают темы о преобразовании выражений, включающих:
- Степени;
- Радикалы;
- Логарифмы;
- Тригонометрические формулы.
Данные задания ЕГЭ по математике 2020 встречаются довольно часто, поэтому перед тем как приступить к разбору вышеописанных тем, нужно изучить само понятие о значении выражения.
Рассмотрим определение данного понятия. Значение выражения – это цифра, которая получается после выполнения необходимых операций с выражением.
Данное определение также называют числом с набором следующих действий: сложение, вычитание, деление и умножение.
Рассмотрим пример: 1+2. Данное выражение представляет собой сложение чисел, ответом будет число 3 – это значение выражения.
Обычно при нахождении значения у числового выражения, слово «числового» не используют, так как в данном случае понятно, что имеется в виду. Существуют числовые выражения, у которых невозможно найти значение, так как необходимо выполнить действия, не имеющие смысла, например, разделить на нуль. В таких случаях считают, что у выражения нет решения.
Буквенное выражение
Такими выражениями принято называть выражения с наличием букв. Если заменить буквы на число, то получится выражение, содержащее числа.
Рассмотрим пример: 2 * х + у, пусть х = 1, у = 2. Далее следует заменить буквы цифрами, и высчитать значение выражения: 2 * 1 + 2= 4. Ответ: 4.
В математике буквы в выражении принимают разные значения, при этом буквы — переменные, а выражения с наличием букв – выражения, содержащие переменные.
Выражения, содержащие переменные
Значением таких выражений называют значения числовых выражений, которые получены путём подстановки. Пример: 3 * а * в + в, пусть а = 2, в = 1. Теперь поставляем числа в само выражение и получаем: 3 * 2 * 1 + 1 = 7. Ответ: 7. В некоторых случаях переменные могут быть разные, но значение выражений у этих переменных должно быть единое.
Значение у переменной можно задавать из допустимого значения, соответствующего им. Так как в другом варианте, при подстановке значений, которые не принадлежат области с допустимыми значениями, получится выражение, не имеющее смысла.
Также нужно учитывать, что бывают выражения с переменными, у которых значение не имеет подчинённости от заданных переменных. Например: 5 + х – х. В данном случае значение выражения не связано с переменной х. Во всех случая значение выражения будет равняться пяти.
Преобразование буквенных выражений может быть включать:
— Степень;
— Радикал;
— Логарифм;
— Функции тригонометрии.
Рассмотрим каждый вид преобразования по отдельности.
Преобразование буквенных выражений, имеющих степени
Рассмотрим несколько правил преобразования степенных выражений:
— Произведение с одинаковыми основаниями ( а^p * a^q = a^ (p+ q ); a^ ( p + q) = а^p * a^q );
— Частное с равными показателями (а^p / a^q = a^(p – q ); a^(p – q ) = а^p / a^q = ф^p / a^ q );
— Степень в степени ( a^p )^q = a^pq; a^pq = ( a^p )^q = ( a^q )^p);
— Степени произведения с частным ( ab^p = a^p * b^p; (a / b)^p = ( a^p ) / (b^p); a^p * b^p = ab^p; ( a^p ) / (b^p = (a / b)^p.
Рассмотрим примеры таких преобразований.
- 2^3 * ( 2^2 – 1 ) = 2^3 * 3= 16 * 3 = 48.
Ответ: 48.
- Найти значение выражения: a^2,5⋅* (a^2)^(−3) / a^(−5,5).
Решение: Возводим в степень. Получаем: a^(2,5 – 6) / a^(−5,5) = a^( -3,5 ) / a^( -5,5 ). Далее нужно использовать правило частного с одинаковыми основаниями: a^( (−3,5 ) −(−5,5 )) = a^2.
Ответ: a^2.
Преобразование буквенных выражений с радикалами
Данная тема содержится в КИМах ЕГЭ по математике, она изучается 7 классе по алгебре, приступим к рассмотрению. Радикалом называют подкоренное выражение. Рассмотрим необходимые формулы, которые будут полезны в процессе преобразования:
— ( n √а )^n = a; ( n√а^n ) = a;
— ( n √аb) = n √а * n √b;
— n (√а / b) = n√а / b √b;
— ( n √а)^k = n √а^k;
— np √а^kp = n √а^k.
Данные выражения принимают за иррациональные. Для наглядности разберём пример иррационального преобразования:
Нужно упростить данное выражение: 4 √32^5.
Данное выражение нужно представить в виде: 16 – a^4 – 2a и воспользоваться второй формулой: 4 √32^5 = 4 √16 * 4 √a^4 * 4 √2a = 2a 4√2a.
Преобразование выражений, содержащих логарифмы
В некоторых КИМах могут встречаться задания на преобразование выражений с логарифмами.
Данные преобразования производятся в соответствии со свойствами логарифмов. Для решения подобных заданий следует знать свойства логарифмов, которые могут решить задачу.
loga 1 = 0;
— loga a = 1;
— loga 1/a = -1;
— loga^k a = 1/k;
— loga a^m = m;
— loga^k a^m = m/k;
— loga^k b = 1/kloga b;
— loga b^m = m log a b;
— loga^k b^m = m/k loga b;
— loga b = logc b/logc a;
— loga b = 1/ logb a;
— loga b * logc d = logc d * loga d;
— a logc b = b logc a.
Вышеизложенные свойства можно применять в любом порядке. При подготовке к ЕГЭ по математике нужно тщательно повторить данные свойства, также важно уметь их использовать в процессе преобразования выражений. Начать следует с числовых выражений. Но как же найти свойство, с помощью которого преобразовать выражение? Обычно это несложно, следует сопоставить логарифм, который нужно преобразовать и выражение, содержащее свойства логарифмов.
Разберём пример.
Вычислить: 5log54. Применяем свойство alogab, здесь а = 5, b = 4. Число а является числом больше нуля и не равно единице, число b больше нуля, далее применяем неравенство alogab=b. Получаем: 5log54=4.
Преобразование выражений, содержащих функции тригонометрии
Под данным термином понимают упрощение выражений, используя формулы из тригонометрии.
Существуют правила, которым нужно следовать в процессе преобразования выражений:
— Если выражение имеет больше количество тригонометрических функций, следует сократить их количество, здесь нужно применять тождества тригонометрии;
— Выражение, содержащее разные аргументы следует привести к единому;
— Для того чтобы получить функцию, следует воспользоваться формулами;
— Если в выражении присутствуют функции высоких степеней, следует воспользоваться тождествами тригонометрии или применить формулы, с помощью которых можно понизить степень.
Тождества тригонометрии:
— sin^2 a + cos^2 a = 1;
— tg a = sin a / cos a, ctg a = cos a / sin a;
— ctg a * ctg a = 1;
— 1 / cos^2 a = tg^2 a;
— 1 / sin^2 a = ctg^2 a.
Рассмотрим пример. Нужно упростить выражение: cos^2 a / 2 – 1 / 2 cos a. Применяем формулу, с помощью которой можно понизить степень: ( cos a + 1 ) / 2 – 1 / 2 cos a = 1 / 2.
Ответ: 1 / 2.
После изучения данной темы и рассмотрения примеров рекомендуем прочитать литературу с более подробным разбором примеров ЕГЭ по математике, изучив данные, а также дополнительные материалы вы в совершенстве будете владеть темой значения числовых и буквенных выражений.
