В данной статье рассмотрим темы, которые встречаются в заданиях ЕГЭ по математике и содержатся в разделе алгебры, в ходе изучения темы подробно рассмотрим определения, используемые в теме, просмотрим рисунки, радианную меру углов, а также будем решать примерные задания. Темы, содержащиеся в статье, рассматриваются в соответствии с кодификатором, задающим элементы содержания заданий для выпускников образовательных организаций.
Переходим к более подробному изучению темы.
Для понятия о тригонометрических функциях следует рассмотреть окружность, радиус которой является единичным. У окружности есть центр, находящийся в начале координат, он расположен непосредственно на координатной плоскости. Для того, чтобы определить данную функцию, будем рассматривать вектор ОР. Он берёт начало в центре заданной окружности. Р – есть точка окружности. С помощью вектора ОР образуется угол с прилегающей осью, названной ОХ. ОР будет равен: OR = R = 1.
Рассмотрим соответствующий рисунок (рис. 1).
При проведении перпендикуляра из Р к оси ОХ получается прямоугольный треугольник, у которого есть гипотенуза и она равна единице.
При движении радиуса-вектора по часовой стрелке, будет получено отрицательное направление. А если радиус будет двигаться против часовой стрелки – положительное направление.
Для того чтобы осуществить вычисления синуса угла альфа, нужно обозначить на плоскости координату У. Как же получить это значение? Следует помнить, что в треугольнике, являющемся прямоугольным, синус произвольного угла будет равен отношению катета, являющегося противолежащим по отношению к гипотенузе. Получаем:
Sin a = У0 / R.
Радиус равен единице, исходя из этого: sin a = у0.
В окружности, являющейся единичной, ордината не должна быть больше единицы, а также меньше минус единицы: -1 < sin a < 1.
Синус будет являться положительным в первых и вторых четвертях окружности, являющейся единичной. Синус будет принимать отрицательное значение в третьей и четвёртой четверти окружности, являющейся единичной.
Выходит, для того чтобы получить косинус угла альфа, нужно определить на плоскости координату Х.
Косинус произвольного угла в треугольнике, являющемся прямоугольным, составляет отношение катета к гипотенузе. Получаем:
Cos a = х0 / R.
Поэтому, радиус равен единице, соответственно, cos a = x0.
У окружности, являющейся единичной, абсцисса не должна быть больше единицы и меньше минус единицы: -1 < cos a < 1.
Таким образом, косинус будет положительным в следующих четвертях окружности, являющейся единичной:
– В первой четверти;
– В четвёртой четверти.
Отрицательным:
– Во второй четверти;
– В третьей четверти.
Тангенсом угла, являющегося произвольным, считают отношение синуса и косинуса.
Представим произвольный треугольник, при условии, что он является прямоугольным. Здесь тангенсом будет отношение катета, названного противолежащим по отношению к прилежащему катету.
Если мы будем рассматривать единичную окружность – отношение её ординаты к абсциссе.
Получаем:
tg a = sin a / cos a; tg a = y0 / x0.
Следовательно, тангенс может быть при нулевом значении абсциссы, при этом, угол должен быть прямым. Тангенс вправе принимать и другие значения, такие как отрицательные и положительные.
Положительное значение тангенс будет иметь в первых и третьих четвертях окружности, являющейся единичной. Отрицательным тангенс является в четвёртой и второй четвертях.
Перейдём к рассмотрению котангенса. Котангенс угла, являющегося произвольным – косинус по отношению к синусу.
При рассмотрении прямоугольного треугольника это прилежащий катет по отношению к противолежащему:
Ctg a = cos a / sin a;
Ctg a = х0 / у0.
Если угол альфа равен нулю, то котангенса не существует. Это обусловлено тем, что в знаменателе дроби находится ордината.
Котангенс так же как и тангенс, в четвертях окружности, имеет такие же значения.
Рассмотрим примеры заданий, а в точности — неравенства:
– Если n принадлежит Z, то:
Sin (a + 2 пn ) = sin a;
Cos ( a + 2 пn ) = cos a.
– Также, если n принадлежит Z, то:
Tg ( a + пn ) = tg a;
Ctg ( a + пn ) = ctg а.
Перейдём к рассмотрению радианной меры угла. Рассмотрим единичную окружность (рис. 2).
Проводим дугу, которая будет равна радиусу окружности. Далее нужно соединить центр с концами данной дуги с помощью радиана. Один градус будет равен п 180 радиан. Один радиан соответственно, будет равен 180п. При этом, окружность будет равняться 2п.
Само понятие радиана открыл Томас Мюир и Джеймсон Томпсон в 1870 году. Таким образом, учёные измеряли углы на протяжении большого количества времени. К примеру, учёный Эйлер проводил исследования, он измерял углы с помощью длины дуги, которая отрезана в окружности, являющейся единичной.
Решим задачу ЕГЭ по математике на данную тему.
Нужно найти углы, при мере радиуса равной п / 2, п / 4, п / 8.
П / 2 * 180 / п = 90 градусов.
П / 4 * 180 / п = 45 градусов.
П / 8 * 180 / п = 22, 5 градуса.
Следует запомнить, что:
– 30 градусов равны п / 6;
– 45 градусов равны п / 4;
– 60 градусов равны п / 3;
– 90 градусов равны п / 2;
– 120 градусов равны 4п / 6;
– 180 градусов равны п.
Синус, тангенс, косинус, котангенс числа
Определением вышеописанных понятий считают число, равное синусу, косинусу, тангенсу и котангенсу в t радиан.
Синусом, косинусом, тангенсом и котангенсом числа t считают число, равное синусу, косинусу, тангенсу и котангенсу в t радиан.
Рассмотрим пример. Для любого действительного числа на окружности, являющейся единичной, определять точку. При этом, центр окружности должен находиться в начале системы координат. Все данные находят с помощью данной точки.
Начальной точкой окружности является точка А. Её координатами будут ( 1; 0 ). Пусть t – положительное число. Данному числу будет соответствовать точка, в неё осуществит переход изначальная точка. Если t отрицательное, то ему будет соответствовать точка, в которую осуществит переход исходная точка при направлении против часовой стрелки.
Рассмотрим определения основных понятий темы.
Синусом числа t является ордината точки окружности, являющейся единичной, она соответствует числу t. То есть sin t = y.
Косинусом числа t называют абсциссу точки окружности, являющейся единичной, она соответствует числу t. Получается: cos t = x.
Тангенсом числа t считают отношение ординаты к абсциссе точки окружности, являющейся единичной, она соответствует числу t. То есть: tg t = yx = sin t cos t.
Следует запомнить данные определения, а также необходимые неравенства, они пригодятся при решении заданий ЕГЭ по математике.
Данные определения не противоречат определению, которое дано в начале этой темы. Точка, лежащая на окружности, соответствует числу t, а также имеет совпадение с точкой. В эту точку переходит исходная точка, это происходит после осуществления поворота на угол, равный t радиан.
В процессе подготовки к экзамену рекомендуем внимательно просмотреть демоверсию ЕГЭ по математике базового уровня, а также решить примерные задания по теме. В демонстрационном варианте содержатся необходимые пояснения к ЕГЭ. Его назначением является ознакомление с примерным содержанием КИМОВ, заданиями, а также уровнем их сложности.
Ответы